Sea $p_0^d (n)$ sea el número de particiones de n en partes Impares distintas. [ ] $$p(n) \equiv p_0^d(n) \pmod 2$$
Así que tengo que demostrar que el número total de particiones tiene la misma paridad que el número de particiones de n en partes Impares distintas. Sé que hay cantidades iguales de particiones pares e Impares, pero aparte de eso realmente no sé cómo abordar esto.
Puede representar una partición $k_1+\dots +k_m=n$ , $k_1\geq\dots\geq k_m$ por su diagrama de Young: una fila de $k_1$ cuadrados, debajo una fila de $k_2$ cuadrados ... y finalmente una fila de $k_m$ cuadrados.
Una partición a diferentes números impar $l_1>\dots >l_p$ también puede representarse mediante un diagrama de Young: un gancho de $l_1$ cuadrados (si $l_1=2q_1+1$ el gancho tiene un cuadrado en la esquina y $q_1$ cuadrados horizontalmente y $q_1$ cuadrados verticalmente); luego otro gancho de $l_2$ cuadrados, etc. Los diagramas así obtenidos son invariantes respecto a la reflexión diagonal.
Los diagramas que no son invariantes respecto a la refección diagonal vienen en pares (un diagrama y su reflexión), por lo que el número de todos los diagramas (con $n$ cuadrados) es $2\times$ algo más el número de diagramas invariantes.
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