Cualquier grupo de orden cuatro es cíclica o isomorfo a $V$

Question

Voy a intentar mostrar que si nuestro grupo $G$ no es cíclico, entonces es isomorfo a Klein de cuatro grupos $V$.

Así que supongamos $G$ no es cíclico. A continuación, sus elementos, excluyendo $e$, son de orden $3$ o $2$. Suponiendo que hay un elemento de orden $3$ da tres elementos distintos $g, g^2, g^3$. Por hipótesis existe $h \in G$ tal que $h$ es distinta de estos tres elementos. Así que podemos hacer $gh$ el cual debe ser igual a uno de los elementos anteriormente mencionados. La configuración de esta igualdad a los diferentes elementos:

\begin{align} &gh=g \Rightarrow h=e && gh=g^2 \Rightarrow h=g & \\ &gh=h \Rightarrow g=e, && gh=g^3 \Rightarrow h=g^2 & \end{align} Cada uno de los cuales es una contradicción. Por lo tanto, todos los elementos son de orden dos y se puede conseguir un isomorfismo entre el $G$ $H \times H$ donde $ H$ es cíclico de orden dos. Pero este producto directo es isomorfo a Klein de cuatro grupos por lo $G$ es isomorfo a $V$.

Es esto correcto?

También es dado en el libro que $V$ es isomorfo a este producto; ¿cómo puedo mostrar esta sin verificar que $f(gh)=f(g)f(h)$ para todas las combinaciones?

Answer 1

Una idea: que $\,G=\{1,a,b,c\}\,$ que no sea un grupo cíclico de orden $\,4\,$, por lo que podemos suponer $\,a,b\,$ son no los poderes de cada uno de los otros.

La pregunta es: ¿qué es $\,ab\,$?? Usted debe encontrar bastante fácil demostrar esto debe ser $\,c\,$ y, con un par de líneas más, demostrar tanto que $\,G\,$ es abelian y de hecho la misma (es decir, isomorfo a) la viergrup $\,V\,$.

Otra idea: te parece que se siente muy cómodo de usar isomorphisms, Klein grupo y esas cosas: ¿por qué no usar directamente del Teorema de Lagrange y evitar todo ese tiempo de prueba acerca de la imposibilidad de un elemento de orden 3?

Answer 2

Yo iba a preguntar si mi prueba de ello es la correcta, así que aquí está, por favor, dígame si está muy bien.

Prueba. Sea G un grupo de orden 4 por el teorema de Lagrange cualquier elemento de G tiene orden de 1,2 o 4. Si G tiene un elemento de orden 4, se genera entonces G es cíclico. Suponga que G no tiene elementos de orden 4, entonces G tiene 3 elementos de orden 2. Puesto que el orden de G es$2^2$, entonces G es Abelian (por la clase de ecuaciones). Por lo que G es Abelian y tiene 3 elementos de orden 2 y 1 de la orden 1 (la identidad), se sigue que G es isomorfo a la klein cuatro grupo.