Ayuda para calcular Tor

Question

Considere el$\mathbb{Z}_{2}$% como un$\mathbb{Z}_{4}$ módulo. Cómo calcular:

$Tor_{n}^{\mathbb{Z}_{4}}(\mathbb{Z}_{2},\mathbb{Z}_{2})$?

Answer 1

Necesita una resolución gratuita (o proyectiva) de$\mathbb{Z}_2$. Uno es$$\dots\to\mathbb{Z}_4\to\mathbb{Z}_4\to\mathbb{Z}_4\to\mathbb{Z}_4$ $ donde cada flecha es multiplicada por$2$. Ahora tensorizas este complejo (sobre$\mathbb{Z}_4$) con$\mathbb{Z}_2$ y obtienes$$\dots\to\mathbb{Z}_2\to\mathbb{Z}_2\to\mathbb{Z}_2\to\mathbb{Z}_2$ $ donde las flechas ahora son cero. Tus Tor son la cohomología de este complejo. Como resultado, son$\mathbb{Z}_2$ para cada$n$.