¿Por qué este círculo enredado no es una retracción del toro sólido?

Question

Estoy haciendo el ejercicio 16 de la página 39 en Hatcher:

1. Demostrar que no hay tiraje $r: X \rightarrow A$ en los siguientes casos:

   (a) $X = \mathbb{R}^3$ $A$ cualquier subespacio homeomórficos a $S^1$

   (b) $X = S^1 \times D^2$ $A$ su límite de torus $S^1 \times S^1$

   (c) $X = S^1 \times D^2$ $A$ el círculo que se muestra en la figura.

Yo lo he hecho (a) y (b) con la proposición 1.17. es decir, supuse que no era una retracción, a continuación, el mapa entre los grupos fundamentales tiene que ser inyectiva, por lo tanto la contradicción.

Ahora estoy atascado con la (c) porque, según mi entender, el círculo en la imagen tiene el mismo grupo fundamental como $S^1$ lo que significa que también tiene el mismo grupo fundamental como el sólido toro.

¿Qué es una diferente manera de demostrar que no hay retracción (no el uso de la prop. 1.17.)? Muchas gracias por tu ayuda!

Answer 1

(i) Si $f:X \rightarrow Y$ es un homotopy equivalencia, a continuación, la inducida por homomorphism $f_* : \pi_1(X, x_0) \rightarrow \pi_1(Y,f(x_0))$ es un isomorfismo.

(ii) Si $X$ deformación se retrae en $A \subset X$$r$, la retracción de$X$$A$, es un homotopy de equivalencia.

reclamo: no Hay tiraje $r:X \rightarrow A$

prueba: (por contradicción)

Asumir que hubo una retracción. Luego, por la proposición 1.17. (Hatcher p. 36) el homomorphism inducida por la inclusión $i_* : \pi_1(A, x_0) \rightarrow \pi_1(X,x_0)$ sería inyectiva.

Pero $A$ deformación se retrae a un punto en $X$ (i) $i_*(\pi_1(A, x_0))$ es isomorfo a $\{ e \}$, el trivial grupo. Por lo tanto, $i_*$ no puede ser inyectiva. Contradicción. No hay tiraje $r: X \rightarrow A$.

Alguien me puede decir si tengo derecho?

Answer 2

La proposición 1.17 muestra que no hay retracción $r : X \to A$. A diferencia de los ejemplos anteriores, como resumen de grupos a los que puede tener un inyectiva mapa de $\pi_1(A) \to \pi_1(A)$, debido a que ambos son isomorfos a $\mathbb{Z}$. Por lo que no está hecho todavía.

Si $r : X \to A$ es una retracción, a continuación, $r_* : \pi_1(A) \to \pi_1(X)$ envía el bucle en $A$ en un camino en el $X$ que es nulo homotópica, por lo $r_*$ no es inyectiva. Dentro de $X$, puede conectar un disco alrededor de $A$ (el disco que cruza a sí misma pero no es importante). Tomando la imagen de este disco por una retracción le daría un disco alrededor de $A$ dentro $A$, lo cual no es posible.