Estoy tratando de resolver: $$\int{\frac{2x^{4}-5x^{3}+11x^{2}-2x-10}{x^{3}-3x^{2}+7x-5}dx}$$
Pensé que el primer paso debería haber sido polinómica-división: $$\mspace{210mu} \; 2x \\ x^{3} -3x^{2}+7x-5 {\Big |}\mspace{-4.1mu}\overline{\mspace{3 mu}2x^{4} - 5x^{3} + 11x^2 -2x-10} \\ \mspace{120mu} \underline{-2x^{4} - 6x^{3} + 14x^2 -10x+0} \\ \mspace{173mu} 0+x^{3}-3x^{2}+8x-10$$
Por lo tanto, $$\int{\frac{2x^{4}-5x^{3}+11x^{2}-2x-10}{x^{3}-3x^{2}+7x-5}dx}=\int{2x+\frac{x^{3}-3x^{2}+8x-10}{x^{3}-3x^{2}+7x-5}dx}$$
Dividiendo de nuevo:
$$\mspace{210mu} \; 1 \\ x^{3} -3x^{2}+7x-5 {\Big |}\mspace{-4.1mu}\overline{\mspace{3 mu}x^{3}-3x^{2}+8x-10} \\ \mspace{120mu} \underline{-x^{3}-3x^{2}+7x-5} \\ \mspace{173mu} x-5$$
Por lo tanto,
$$\int{\frac{2x^{4}-5x^{3}+11x^{2}-2x-10}{x^{3}-3x^{2}+7x-5}dx}=\int{2x+1+\frac{x-5}{x^{3}-3x^{2}+7x-5}dx}$$
$$\int{\frac{2x^{4}-5x^{3}+11x^{2}-2x-10}{x^{3}-3x^{2}+7x-5}dx}=\int{2x\,dx}+\int{1\,dx}+\int{\frac{x-5}{x^{3}-3x^{2}+7x-5}dx}$$
Primera de las dos integrales son primarias, $\int{2x\,dx}=x^{2}+C$$\int{1\,dx}=x+C$.
La resolución de la tercera integral:
$$\int{\frac{x-5}{x^{3}-3x^{2}+7x-5}dx}$$
El siguiente paso es la factorización del denominador, me encontré a raíz del uso racional de la raíz teorema:
$$a_{0}=5, a_{n}=x^{3}$$
$$\frac{1, 5}{1}=\frac{1}{1}=1$$
Por lo tanto, obtenemos $x-1$, dividiendo el resto polinomio:
$$\frac{x^{3}-3x^{2}+7x-5}{x-1}=x^{2}-2x+5$$
Por lo tanto,
$$\int{\frac{x-5}{x^{3}-3x^{2}+7x-5}dx}=\int{\frac{x-5}{(x-1)(x^{2}-2x+5)}dx}$$
Parcial de la fracción de descomposición:
$$\int{\frac{x-5}{(x-1)(x^{2}-2x+5)}dx}=\int{\frac{A}{x-1}dx}+\int{\frac{B}{x^{2}-2x+5}dx}$$
Multiplicando por el denominador:
$$x-5=A(x^{2}-2x+1)+B(x-1)$$
Aquí viene la raíz de la sustitución de la raíz de $(x-1)=1$, pero a raíz de $x^{2}-2x+1=\frac{2+\sqrt{0}}{2}=1$.
Así, tanto la de los polinomios tienen la misma raíz, y obtenemos:
$$-4=A(0)+B(0)$$
Por lo tanto, no puedo encontrar lo $A$ ni $B$.
Problema:
En la última ecuación, tanto de las raíces fueron de 1, y por la sustitución tengo cero. Fue la factorización de la incorrecta? o yo no logran encontrar la adecuada raíces?
Gracias!
