Prueba $\sin(\pi/2)=1$ utilizando la definición de serie de Taylor de $\sin x$ , $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$
Parece bastante complicado sustituir en $\pi/2$ para $x$ . Así que tenemos $$\sin(\pi/2)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(\pi/2)^{2n+1}}{(2n+1)!}.$$
No estoy muy seguro de a dónde ir desde aquí. Se agradece cualquier ayuda. Gracias.
Esta no es realmente una respuesta, o al menos no es una respuesta simple. En su libro Cálculo diferencial e integral , Edmund Landau define $\sin x$ utilizando la serie de potencia estándar mencionada en el post. A continuación, en el famoso estilo de Landau (con mucho cuidado y todo detalle), define la función coseno y establece las conocidas propiedades básicas del seno y el coseno. Demuestra que $\cos x=0$ tiene una solución mínima positiva, y llama a ese número $\pi/2$ . Después de todo eso, demostrar que $\sin(\pi/2)$ ¡es muy fácil!
Existe una traducción al inglés del libro de Landau (Chelsea). En Google Books se puede ver lo suficiente del libro como para poder reconstruirlo todo. No he visto un desarrollo detallado del seno y el coseno a través de las series de potencias en ningún otro sitio, aunque debe haber alguno. Sin embargo, el trabajo de Landau es de una claridad inigualable.
Esta es una ampliación de la respuesta de Eelvex.
El quid de la cuestión es que $\sin x$ (definida por la serie de potencias anterior) es la única solución de $y'' = -y$ Satisfaciendo a $y(0) = 0, y'(0) = 1$ . De la misma manera, $\cos x$ (definida por la derivada de la serie de potencias de $\sin x$ ) es la única solución de $y'' = -y$ Satisfaciendo a $y(0) = 1, y'(0) = 0$ . Además, como indica Eelvex, para cualquier $c$ la función $\sin (x + c)$ también es una solución para $y'' = -y$ y sus condiciones iniciales son $y(0) = \sin c, y'(0) = \cos c$ Por lo tanto
$$\sin (x + c) = \sin c \cos x + \cos c \sin x.$$
Además, calculamos que la derivada de $\cos^2 x + \sin^2 x$ es idénticamente cero, y es igual a $1$ en $x = 0$ por lo que es idénticamente igual a $1$ en todas partes. De ello se desprende que $\sin x$ está acotado. Como $\cos x$ es positivo para un valor suficientemente pequeño de $x$ por inspección, tenemos que $\sin x$ es, al menos inicialmente, creciente, y por acotación alcanza un máximo local en algún real positivo $c_0$ . Esto da $\cos c_0 = 0$ Por lo tanto $\sin c_0 = 1$ y
$$\sin (x + c_0) = \cos x.$$
El mismo argumento se aplica a $\cos x$ , dando $\cos (x + c_0) = \sin (x + 2c_0) = - \sin x$ Por lo tanto $\sin (x + 4c_0) = \sin x$ Por lo tanto $\sin x$ es una función periódica con periodo $4c_0$ .
El misterio que queda es por qué $4c_0$ es igual a la circunferencia del círculo unitario. Recordemos que para una curva parametrizada $(x(t), y(t))$ con $0 \le t \le t_0$ la longitud del arco es
$$\int_0^{t_0} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, dt.$$
Dejar $x(t) = \cos t, y(t) = \sin t$ tenemos $x'(t)^2 + y'(t)^2 = 1$ . Además $(x(t), y(t))$ parametriza el círculo unitario, y observando qué cuadrante $(\cos t, \sin t)$ está en para $t$ ligeramente mayor que $0, c_0, 2c_0, 3c_0, 4c_0$ podemos concluir que parametriza el círculo unitario exactamente una vez cuando $t_0 = 4c_0$ de la que se desprende la identidad $4c_0 = 2 \pi$ sigue.
Nótese que aquí no se ha utilizado realmente la manipulación directa de la serie, aunque el hecho de que la serie resuelva $y'' = -y$ se utilizó mucho. Esta es realmente la propiedad crucial de la serie, por lo que es una cosa más útil para trabajar de todos modos. El problema de manipular directamente la serie es que en algún momento hay que deshacerse del $\pi$ . Hacer esto usando la geometría es mucho más fácil que usar la manipulación de series (que me parece innecesariamente difícil; ni siquiera me queda claro qué definición de $\pi$ que podrías usar en esta situación que no fuera circular), y es más revelador de todos modos.
[Un boceto:]
Dejemos que $f(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$ . Se puede demostrar fácilmente que
$$\begin{eqnarray} f(x + c) & = & f(c) + f'(c)x + f''(c)\frac{x^2}{2!} + \cdots \quad(1) \\ f''(x) & = & -f(x) \quad(2)\\ f'(x) & = & 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \quad(3) \end{eqnarray}$$
Entonces es sencillo demostrar que para cualquier $c$ : $$f(x+c) = f'(c)f(x) + f(c)f'(x) \quad(4)$$
También podemos demostrar que existe una $b$ tal que $f'(b) = 0$ . Entonces $(1),(4) \Rightarrow f(b) = 1$ y así $$f(x+b) = f'(x) \quad(5)$$
Yendo un poco más allá, $(2),(5) \Rightarrow f(x+4b) = f(x)$ así que $b = \frac{1}{4}\mathrm{period}$ .
Pero $f^2(x) + f'^2(x) = 1$ (todos los términos de expansión excepto el primero de $f'(x)$ se anulan) por lo que el periodo de $f$ es $2\pi$ , $$b = \frac{\pi}{2}$$
utilizar las identidades para cos(a+b) y sin(a+b) - que se pueden derivar (Landau como se ha mencionado anteriormente). Sea a=pi/2 y b= -x
Entonces aplica cos^2 +sin^2 = 1 (se puede demostrar por la derivada) dos veces para obtener sin(pi/2)=1.
esto es fuera de tema, pero puede estar bien como prueba.
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