¿Son estas curvas racionales?

Question

Tengo que encontrar los puntos singulares de las siguientes curvas y Dile si son racionales. Las curvas son $C=Z(x^2+y^2+x^2y^2)$ y $C=Z(x^3+y^3-1)$ y el campo base es el complejo.

Creo que encontré lo singular pero estoy atrapado en la búsqueda del morfismo racional. ¿Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Un plano afín curva es racional si su projectivization es racional, por lo que vamos a estudiar estos projectivizations ya tenemos más herramientas a nuestra disposición en el plano proyectivo.

2) La projectivization de la segunda curva es la curva de $x^3+y^3-z^3=0$.
Esta es una curva suave de género $\frac {(3-1)(3-2)}{2}=1$, por lo que no es racional desde racional curvas tienen género $0$ .
1) El projectivization de la primera curva es la curva de $C$ con la ecuación de $x^2z^2+y^2z^2+x^2y^2=0$, que tiene tres nodal singularidades en $(1:0:0),(0:1:0),(0:0:1)$.
El birational transformación en el plano (tradicionalmente "de segundo grado de transformación") $x=\frac {1}{X}, y=\frac {1}{Y}, z=\frac {1}{Z}$ transforma (después de multiplicar por $X^2Y^2Z^2$) la curva de $C$ en la cónica $C'$ de la ecuación ($Y^2+X^2+Z^2=0$.
Por lo que la curva de $C$ es de hecho racional, ya que la cónica $C'$ es racional .
Otro argumento a favor de la racionalidad de la $C$ es que la geometría de su género es $\frac {(4-1)(4-2)}{2}-3\cdot 1=0$ y una curva geométrica de género $0$ es racional (la resta de mandato en la fórmula viene de los tres nodal de las singularidades de la curva).