Probabilidad de elegir el valor de la variable en la ecuación - 4 tupla ( $x_1 +x_2+x_3+x_4=10$ )

Question

Puede que sea la redacción de este problema lo que me despista, pero no consigo averiguar el número de resultados posibles para calcular la probabilidad:

Supongamos una solución entera no negativa de la ecuación $w+x+y+z=10$ se elige al azar (cada uno tiene la misma probabilidad de ser elegido). ¿Cuál es la probabilidad de que en esta solución particular $w$ es menor o igual a 2?

Dejemos que $A = w \leq 2 $

Para encontrar P(A) necesito:

\begin{align} P(A)=\frac{|E|}{|S|} \end{align}

Donde |E| = Resultados exitosos y |S| = Tamaño del espacio muestral.

Empiezo por encontrar el espacio muestral de posibles soluciones, ya que se trata de una tupla 4: ${\{w,x,y,z\}}$ -- el orden no importa y se permiten las repeticiones, yo diría que el tamaño del espacio muestral es

\begin{align} |S| = C(10+4-1,4) =C(13,4) \end{align}

Así que esto me da:

\begin{align} P(A)=\frac{|E|}{C(13,4)} \end{align}

Sin embargo, no consigo averiguar $|E|$ ya que no sé cómo contabilizar todos los casos...

Yo soy adivinando ya que hay 4 variables: $\{w,x,y,z\}$ y asumimos que $w$ se escoge a priori entre los siguientes: $\{0,1,2\}$ (ya que $w\leq 2$ ) esto nos deja con 3 variables por determinar. El número de resultados para esto sería así:

$$ \begin{array}{c|lcr} case & \text{Number of outcomes} \\ \hline 0+x+y+z= 10 & C(10+3-1,3) = C(12,3) \\ 1+x+y+z= 10 & C(10+3-1,3) = C(12,3)\\ 2+x+y+z= 10 & C(10+3-1,3) = C(12,3) \end{array} $$

Esto se siente mal .. o tal vez estoy pensando demasiado. Pero la solución sería:

\begin{align} P(A)=\frac{3 \cdot C(12,3)}{C(13,4)} \end{align}

Answer 1

Es casi seguro que hay una forma mejor de hacer el problema que ésta, pero éste es un método sencillo.

Podemos enumerar todas las soluciones enteras no negativas de $w + x + y + z = 10$ , suponiendo que $w,x,y,z$ no son decrecientes. Enumeramos el número de permutaciones para cada solución, y la probabilidad de que $w \leq 2$ .

Ordenar de mayor a menor número de ceros:

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\begin{align*} 10&=0 + 0 + 0 + 10 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with } 4 \text{ permutations) } &\, \text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,3 \text{ out of } 4\\ 10&=0 + 0 + 1 + 9 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with } 4 \cdot 3\text{ permutations) }&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,3 \text{ out of } 4\\ 10&= 0 + 0 + 2 + 8\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with } 4 \cdot 3 \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,3 \text{ out of } 4\\ 10&= 0 + 0 + 3 + 7 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with } 4 \cdot 3\text{ permutations) }&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,2 \text{ out of } 4\\ 10&= 0 + 0 + 4 + 6\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with } 4 \cdot 3\text{ permutations) }&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,2 \text{ out of } 4\\ 10&= 0 + 0 + 5 + 5 \,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with } \binom{4}{2}\text{ permutations) }&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,2 \text{ out of } 4\\ 10&= 0 + 1 + 1 +8\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }4 \cdot 3 \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,3 \text{ out of } 4\\ 10&= 0 + 1 + 2 +7\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }4! \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,3 \text{ out of } 4\\ 10&= 0 + 1 + 3+6\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }4! \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,2 \text{ out of } 4\\ 10&= 0 + 1 + 4 +5\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }4! \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,2 \text{ out of } 4\\ 10&= 0 + 2 + 2 +6\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }4 \cdot 3 \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,3 \text{ out of } 4\\ 10&= 0 + 2 + 3 +5\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }4! \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,2 \text{ out of } 4\\ 10&= 0 + 2 + 4 +4\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }4 \cdot 3 \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,2 \text{ out of } 4\\ 10&= 0 + 3 + 3 +4\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }4 \cdot 3 \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,1 \text{ out of } 4\\ 10&= 1 + 1 + 1 +7\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }4 \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,3 \text{ out of } 4\\ 10&= 1 + 1 + 2 +6\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }4 \cdot 3 \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,3 \text{ out of } 4\\ 10&= 1 + 1 + 3 +5\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }4 \cdot 3 \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,2 \text{ out of } 4\\ 10&= 1 + 1 + 4 +4\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }\binom{4}{2} \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,2 \text{ out of } 4\\ 10&= 1 + 2 + 2 +5\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }4 \cdot 3 \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,3 \text{ out of } 4\\ 10&= 1 + 2 + 3 +4\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }4! \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,2 \text{ out of } 4\\ 10&= 1 + 3 + 3 +3\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }4 \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,1 \text{ out of } 4\\ 10&= 2 + 2 + 2 +4\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }4 \text{ permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,3 \text{ out of } 4\\ 10&= 2 + 2 + 3 + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{ (with }\binom{4}{2} \text { permutations) } &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ prob } w \leq 2 \text { is } \text{:}\,\,\,\,\,\,\,2 \text{ out of } 4\\ \end{align*}

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El número total de permutaciones es:

$$(4\cdot 3)\cdot 11+(4)\cdot 4+(4\cdot 3/2)\cdot 3+(4\cdot 3\cdot 2)\cdot 5 = 286$$

Multiplica el número de permutaciones por la probabilidad de que $w \leq 2$ para cada caso. Sume estas cifras. Dividir por el número total de permutaciones. Obtenemos $$\frac{166}{286} = \boxed{\frac{83}{143}}$$

Answer 2

Frente a un número total de soluciones de $\binom{10+4-1}{4-1} = 286,$

excluimos los no admisibles asignando inicialmente $3$ en $w$ , por lo que sólo $7$ más quedan por asignar,

Por lo tanto, las formas permitidas son $\binom{10+4-1}{4-1}- \binom{7+4-1}{4-1} = 166$

Proceda a calcular la probabilidad

Answer 3

Poner w = 0

Encontrar la solución para $x+y+z = 10$ y eso es ${12\choose2}=66$

Poner w = 1

Encontrar la solución para $x+y+z = 9$ y que es ${11\choose2}=55$

Poner w = 2

Encontrar la solución para $x+y+z = 8$ y que es ${10\choose2}=45$

Si se suman los casos anteriores, se obtiene un total de $166$

Para todos los w,x,y,z no negativos

Encuentre la solución para $w+x+y+z = 10$ y eso es ${13\choose3} =286$

Por lo tanto, la probabilidad $=\frac{166}{286}$