Cómo encontrar un formulario cerrado para los números que son relativamente primos para$10$,

Question

Interesante Pregunta

Deje $a_n$ ser los enteros positivos (en orden) que son relativamente primos a $10$.

Encontrar una forma cerrada para $a_n$.

Sé $$a_{1}=1,a_{2}=3,a_{3}=7,a_{4}=9,a_{5}=11,a_{6}=13,a_{7}=17,a_{8}=19,a_{9}=21,\cdots$$

Se dice que el $$a_{n}=2\left\lfloor \dfrac{5}{3}\left(n-1-\left\lfloor\dfrac{n-1}{4}\right\rfloor\right)\right\rfloor-2\left\lfloor\dfrac{1}{2}\left(n-1-4\left\lfloor\dfrac{n-1}{4}\right\rfloor\right)\right\rfloor+1$$ Pero no puedo encontrar esta prueba.

Pregunta 2:

Deje $a_n$ ser los enteros positivos primos relativos a $m$. Encontrar una forma cerrada para $a_{n}$.

Es este un problema de problema de investigación? Creo que debería ser ya que este es en la OEIS, y a pesar de Euler totient función es similar, estas secuencias son diferentes.

Answer 1

Esa solución a la pregunta 1 parece bastante compleja. También se podría decir que$$ a_n = 2n + 2\left\lfloor\frac{n+1}4\right\rfloor - 1 $ $ usa que las primeras diferencias 2,4,2,2,2,4,2,2,2,4,2,2,2,4, ... tienen estructura particularmente simple en este caso.

Como una solución más generalizable de manera general, se podría decir$$ a_n = 10\left\lfloor \frac {n-1}4 \right\rfloor + \left\lfloor 10^n \frac{1379}{9999} \right\rfloor \bmod 10 $ $ desde$\frac{1379}{9999}=0.137913791379...$. Este mismo principio se puede usar para construir fórmulas cerradas para cualquier otra secuencia de números enteros cuyas primeras diferencias se repitan.

Answer 2

Mirando Henning "generalizable solución", sin duda, nos puede hacer esto en una solución general:

Para generar $a_n$ relativamente primer a $m$,

$$a_n = m \left\lfloor \frac{n-1}{\phi(m)} \right\rfloor +\left\lfloor m^n \frac{k}{m^{\phi(m)}-1} \right\rfloor \text{ mod } m$$

donde ${\phi(m)}$ es de Euler totient y $k$ está formado a partir de la totatives $\{t_i\}$ $m$ como sigue: $$k=\sum_1^{\phi(m)}m^{\phi(m)-i}t_i$$

(el totatives los números de Euler totient cuenta, aquellos de menos de $m$ relativamente primer a $m$)

Por ejemplo, para $m=18$:

• $\phi(m)=6$
• $t_i = \{1,5,7,11,13,17\}$
• $k = 2459087$ $$a_n = 18 \left\lfloor \frac{n-1}{6} \right\rfloor +\left\lfloor 18^n \frac{2459087}{34012223} \right\rfloor \text{ mod } 18$$