¿Mapa inyectiva sobre anillos coordinados implica imagen densa?

Question

Que $V$ $W$ ser (irreducible algebraica) variedades sobre un cuerpo algebraicamente cerrado $k$.

$X\subset W$ Es denso si y sólo si $V(I(X))=W$.

Que $f:V\rightarrow W$ ser un morfismo.

¿Si el % de retroceso $f^\ast\colon k[W]\rightarrow k[V]$es inyectivo entonces es la imagen de $f$ densa en $W$?

Answer 1

1) La respuesta de la pregunta es ¡No !

Por ejemplo, la inclusión $$f:\mathbb P^1(k)\to \mathbb P^2(k):|x,y]\mapsto [x,y,0]$$ has as pull-back map the identity $$f^\ast\colon k[\mathbb P^2(k)]=k\rightarrow k[\mathbb P^1(k)]=k:q\mapsto q,$$ (which is certainly injective) but the image of $f$ (consisting of the points $[x,y,0]$) is certainly not dense in $\mathbb P^2(k)$.

2) sin Embargo, si $W$ es afín a la respuesta es ¡Sí!

a) La clave de señalar aquí es que un subconjunto $S\subset W$ es no denso si y sólo si existe un no-cero de la función regular $0\neq \phi \in k[W]$ tal que $\phi(s)=0$ todos los $s\in S$.
Ten en cuenta que esta clave de observación es completamente falso para no afín $W$ !

b) Ahora, si $S=f(V)$ la condición anterior, se convierte en $\phi(f(v)))=0$ todos los $v\in V$ o, equivalentemente,$f^\ast(\phi )=0\in k[V]$.
Pero si $f^\ast$ es inyectiva es imposible tener tanto $0\neq \phi \in k[W]$$f^\ast(\phi )=0\in k[V]$, por lo que la inexorable conclusión en virtud de este inyectividad hipótesis es que el $f(V)$ es denso en $W$.

[Por cierto, irreducibilty de cualquier variedad a la vista es irrelevante]

Edit: una justificación para 2) a)
Si $S\subset W$ no es densa, no es un subconjunto cerrado $C\subsetneq W$$S\subset C$.
Y desde $C=V(\phi_1,\cdots, \phi_r)=\bigcap V(\phi_i)$ algunos $\phi_i\in k[W]$, podemos suponer que (por la posibilidad de tomar un mayor $C$$C=V(\phi)$.
Ahora $\phi \neq 0$ desde que $C=V(\phi)\neq W$ y hemos encontrado el prometido $\phi \in k[W]$.

Por el contrario, si algunos $\phi\neq 0\in k[V]$ se desvanece en $S$, $S\subset V(\phi)\subsetneq W$ e lo $\bar S\subset V(\phi)\subsetneq W$, lo que implica que $S$ no es denso.

Answer 2

Prop: Vamos a $F:V\rightarrow W$ ser una de morfismos de afín variedades algebraicas, a continuación, pullback $F^{*}:\mathbb{C}[W]\rightarrow \mathbb{C}[V]$ es inyectiva si y sólo si $F$ es dominante, es decir, el conjunto de imágenes $F(V)$ es denso en $W$.

Prueba:

En primer lugar, supongamos que la imagen de $V$ bajo $F$ es denso en $W$. Si $g\in\mathbb{C}[W]$ está en el núcleo de $F^{*}$, entonces, por definición, $F^{*}(g)=0$ lo que significa que $g\circ F$ es equivalente a cero lo que significa que $g$ es cero en $F(V)$. Desde $g$ es un polinomio y, por tanto, es continua, esto significa que es cero en $W$ cero en $F(V)$, que es un denso conjunto. Por lo tanto, el núcleo de $F^{*}$ es trivial, lo que implica que $F^{*}$ es inyectiva.

Alternativamente, si asumimos $F^{*}$ es inyectiva, entonces para mostrar $F$ es dominar tenemos que mostrar que si $U\subset W$ es un conjunto abierto no vacío, a continuación, $F(V)\cap W$ es no vacío. En el Zarski topología en un conjunto abierto $U$ es de la forma $U=W\setminus X\cap W$ donde $X$ es un afín variedad algebraica. Sin embargo, sabemos que cada afín variedad algebraica es igual a la intersección de un número finito de hypersurfaces, y por lo tanto es suficiente con considerar el abrir de los conjuntos de la forma $U=W\setminus \mathbb{V}((f))\cap W$ donde $f$ es un polinomio complejo. Ahora desde $U$ es no vacío $f$ no es equivalente a cero en $W$ como si se tratara de, a continuación, $W\subset \mathbb{V}((f))$ lo que implica $U=\emptyset$. Sine $F^{*}$ es inyectiva esto significa que se ha trivial núcleo y, por tanto, que el $F^{*}(f)\not\equiv0$. Por definición, esto significa que $f\circ F\neq0$, y de modo que existe un $v\in V$ tal que $f\circ F(v)\neq0$. Sin embargo, por la construcción de $f$ se desvanece, precisamente, $W\setminus U$ e lo $F(v)$ debe ser en $U$. Esto significa que $F(V)\cap U\neq\emptyset$ y por lo tanto la imagen de $V$ es denso en $W$. Así que podemos concluir que el pullback $F^{*}:\mathbb{C}[W]\rightarrow\mathbb{C}[V]$ es inyectiva si y sólo si $F$ es dominante.