¿Por qué es controvertido el axioma de la elección?

Question

En otras palabras, ¿cuáles son los argumentos a favor de ZF frente a ZFC, y qué cuestiones filosóficas ha planteado la gente en contra de incluirlo como axioma estándar de la teoría de conjuntos?

Answer 1

Este axioma es controvertido porque, aunque parece una idea relativamente intuitiva, sigue habiendo algunos problemas. Una de las mejores formas de entenderlo es la siguiente: Tomemos el conjunto de todos los pares de zapatos y encontremos la forma de elegir un zapato de cada par para formar un nuevo conjunto. Es fácil. Basta con que nuestra función de elección sea tomar cada zapato derecho de cada par y obtendremos el conjunto de todos los zapatos derechos. Considera esto ahora: Tomemos el conjunto de todos los pares de calcetines. El axioma de elección nos dice que hay una forma de elegir un calcetín de cada par para formar un nuevo conjunto, pero no es fácil describir cómo se hace esa elección. Así que, aunque el axioma dice que siempre existe una función de elección, lo que puede ser esa función de elección o cómo se define no siempre es evidente o incluso es imposible de definir en muchos casos.

Algunas cosas más: El axioma de elección es, en efecto, un axioma extremadamente útil en muchas áreas de las matemáticas. Sin embargo, da lugar a la paradoja de Banach-Tarski y a la existencia de subconjuntos no mensurables de los números reales. Además, el axioma de elección es equivalente a la afirmación de que todo conjunto puede estar bien ordenado, es decir, que todo conjunto no vacío puede estar dotado de un orden total tal que todo subconjunto no vacío tenga un elemento mínimo. Por lo tanto, esto significa que $\mathbb{R}$ puede estar bien ordenada. Sin embargo, nadie ha sido capaz de decir explícitamente cómo se hace esto, y si no me equivoco, puede que sea imposible hacerlo con los axiomas actuales de que disponemos. También quiero añadir que una persona en la sección de comentarios mencionó, necesitamos AC para poder hablar de cardinalidades de conjuntos infinitos.