Que $\log n! - (n+1/2)\log n + n$ tiene un finito limite cuando $n\to\infty$

Question

Estoy tratando de mostrar $\lim\limits_{n \to \infty} (\log n! - (n+1/2)\log n + n)$ existe como parte de un problema mucho mayor. Realmente podría utilizar algo de ayuda.

Mi intento: he intentado usar el hecho de que $1+ \frac {1}{2}+ \frac {1}{3}+ ... +\frac {1}{n} - \log n$ existe, pero no tengo.

Answer 1

Sugerencia. Si establece $$ u_n:=\log n! - (n+1/2)\log n + n,\qquad n=1,2,3,\cdots, $ $ , entonces usted puede probar que

$$ u_{n+1}-u_n=1-\left(\frac{1}{2}+n\right) \log\left(1+\frac{1}{n}\right)\leq0 \tag1 $$

lo que implica la secuencia de $\left\{u_n\right\}$ está disminuyendo. Por otro lado, se han

$$ u_n\geq0. \tag2 $$

Por lo tanto $\lim\limits_{n \to \infty}u_n=\lim\limits_{n \to \infty} (\log n! - (n+1/2)\log n + n)$ existe.

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Edit. Vamos a dar algunos detalles.

• La prueba de $(1)$. Establecimiento $\displaystyle f(x):=\frac{2x}{x+2}-\log(1+x),\, x \in [0,1],$ tenemos $$ f(0)=0, \quad f'(x)=\frac{-x^2}{(x+2)^2(x+1)}\leq0 \quad \implica f(x)\leq0, \quad x \in [0,1], $$ giving, for $n\geq1$, $$ u_{n+1}-u_n=\left(\frac12+n\right)\underbrace{\color{#C00000}{\left(\frac1{\frac12+n} -\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)}}_{\large \color{#C00000}{f\left(\frac1n \right)} \leq\:\color{#C00000}{0}} \leq \color{#C00000}{0} .$$

• La prueba de $(2)$. Se puede observar que, para $n\geq1$,$$ \begin{align} &u_n=\log n! - (n+1/2)\log n + n\\ &=\sum_{k=1}^n\log k-\int_{\frac12}^{n+\frac12}\log x\,\mathrm{d}x+(n+1/2)\log \left(1+\frac1{2n}\right)+\frac12\log 2\\ &=\underbrace{-\sum_{k=1}^nk\int_0^{\frac1{2k}}\log\left(1-x^2\right)\,\mathrm{d}x}_{\large \color{blue}{\geq \:0}}+\underbrace{(n+1/2)\log \left(1+\frac1{2n}\right)+\frac12\log 2}_{\large \color{blue}{\geq \:0}}\color{blue}{\geq 0}. \end{align} $$

Answer 2

Considere la siguiente ecuación $$\begin{align} &\color{#C00000}{\left(n+\tfrac12\right)\log\left(n+\tfrac12\right)-\left(n+\tfrac12\right)-\tfrac12\log\left(\tfrac12\right)+\tfrac12}\color{#00A000}{-\log(n!)}\ &=\color{#C00000}{\int{\frac12}^{n+\frac12}\log(x)\,\mathrm{d}x}\color{#00A000}{-\sum{k=1}^n\log(k)}\ &=\sum{k=1}^n\int{k-\frac12}^{k+\frac12}\log\left(\frac xk\right)\,\mathrm{d}x\ &=\sum_{k=1}^nk\int0^{\frac1{2k}}\log\left(1-x^2\right)\,\mathrm{d}x\ &=\sum{k=1}^nk\int0^{\frac1{2k}}O!\left(x^2\right)\,\mathrm{d}x\ &=\sum{k=1}^nk\,O!\left(\frac1{k^3}\right)\ &=\sum_{k=1}^nO!\left(\frac1{k^2}\right)\ &=C+O!\left(\frac1n\right)\tag{1} \end {Alinee el} $$ ya que converge la derecha del $(1)$ $n\to\infty$, lo mismo ocurre con la expresión de la izquierda.

De la expresión en el lado izquierdo de $(1)$, $$\begin{align} \left(n+\tfrac12\right)\log\left(n+\tfrac12\right) &=\left(n+\tfrac12\right)\left[\log(n)+\tfrac1{2n}+O!\left(\tfrac1{n^2}\right)\right]\[6pt] &=\left(n+\tfrac12\right)\log(n)+\tfrac12+O!\left(\tfrac1n\right)\tag{2} \end {alinee el} $$ combinando $(1)$ y $(2)$, obtenemos que \lim_{n\to\infty}\left[\left(n+\tfrac12\right)\log(n)-n-\log(n!) $$ \right]=C-\tfrac12\log (2e) \tag {3} $$ existe y es finito.