La solución ya dada puede simplificarse un poco utilizando funciones generadoras. El paseo aleatorio viene dado por una secuencia de pasos, ya sea en sentido positivo (pasos +) o en sentido negativo (pasos -). Sea $\cal W$ sea el conjunto de paseos que comienzan con un paso +, vuelven al origen exactamente una vez y terminan allí, sea $W_j$ sea el número de paseos en $\cal W$ de longitud $j$ y que $W(x):=\sum_{j\ge 0} W_j x^j$ sea la función generadora (gf) de $\cal W$ . Entonces, cada paseo en $\cal W$ puede descomponerse de forma única en un paso + (que nos lleva al punto 1), una secuencia de paseos tomados de $\cal W$ (que finalmente nos dejan en 1), y un último - paso que vuelve a 0. Traduciendo esto al lenguaje de gfs se obtiene $$W(x)={x^2 \over 1-W(x)},$$ y resolviendo esta cuadrática se obtiene $$ W(x)={1-\sqrt{1-4x^2}\over 2}, $$ donde el signo de la raíz cuadrada se ha elegido para hacer $W_0=0$ . Sea $R(x)$ sea el gf del conjunto de paseos $\cal R$ comenzando con un paso + que han vuelto al origen en algún momento, y $S(x)$ sea el gf del conjunto $\cal S$ de paseos que comienzan con un paso + que no tienen. Entonces cualquier paseo en $\cal R$ puede descomponerse de forma única en un paseo inicial que vuelve al origen una vez y termina allí, seguido de una secuencia arbitraria de pasos. La gf del paseo inicial es $W(x)$ ya que $(1-2x)^{-1}$ es el gf de una secuencia arbitraria de pasos, $R(x)=W(x)(1-2x)^{-1}$ . También, $\cal R$ y $\cal S$ particionar el conjunto de todos los paseos que empiezan por +; este conjunto tiene gf $x (1-2x)^{-1}$ Así que \begin{eqnarray*} S(x)&=&{x \over 1-2x}-R(x)\\ &=& {x- W(x)\over 1-2x}\\ &=&{2x-1+\sqrt{1-4x^2}\over 2(1-2x).} \ \ \ (*) \end{eqnarray*} Ahora, si $S_j$ es el número de paseos en $\cal S$ de longitud $j$ entonces la suma que queremos calcular es $$ \sum_{j\ge 1} S_j 2^{-j} c^{j-1} = c^{-1} S({c\over 2}), $$ por lo que al enchufar $c/2$ en $(*)$ y dividiendo por $c$ da la respuesta: $$ {c-1+\sqrt{1-c^2}\over 2c(1-c)}={1\over 2c}\left(-1+\sqrt{1+c\over 1-c}\right). $$
Esta respuesta es correcta si $P_{k,j}$ se toma como la probabilidad de que el paseo no haya vuelto nunca al origen y es en $k$ después de $j$ pasos. Si $P_{k,j}$ es la probabilidad de que el paseo no haya vuelto nunca al origen y llega a $k$ por primera vez después de $j$ pasos, la respuesta será más complicada.
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Tu doble sumatorio no parece correcto; una de las variables del sumatorio debería ser $k$ ¿en su lugar?
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Sí, lo siento. Lo he corregido.