Supongamos que $ \int ^a_b \operatorname {tr}(A(t)B(t))~dt=0$ para cualquier $B$ donde $A,B$ son $n \times n$ matrices. ¿Implica esto $A=0$ ?

Question

Supongamos que $ \displaystyle\int ^a_b \operatorname {tr}(A(t)B(t))~dt=0$ para cualquier $B$ donde $A,B$ son $n \times n$ matrices.

¿Implica esto $A=0$ ?

Si esto no es cierto, ¿podemos añadir algunas condiciones para $A, B$ para hacer la proposición verdadera? Por ejemplo, añadir algunas condiciones como $A$ es simétrico, $A$ es asimétrico, tanto $A~ \text {and}~B \in SO(n)$ etc.

Answer 1

Siguiendo la pista de Math Lover, considera $B(t)$ siendo $A(t)^ \top $ . Entonces comprueba que el integrando $ \text {tr}(A(t) A(t)^ \top )= \sum_i \sum_j A(t)_{ij}^2$ no es negativo.