Martingala uniformemente integrable en un horizonte de tiempo finito

Question

Que ${ M (t) \mid t \in [0,T] }$ ser una martingala y ${ \tau_n \mid n = 1, 2, \ldots}$ una secuencia creciente de detener a veces tales que $\tau_n \rightarrow \infty$ $n \rightarrow \infty$. ¿Sin hipótesis adicionales, la familia del detenido procesos ${ M (T \wedge \tau_n ) \mid n = 1, 2, \ldots }$ siempre es uniformemente integrable?

Me parece de Doob parada teorema $M (T \wedge \taun) = \mathrm{E} [ M (T) \mid {\cal F}{T \wedge \tau_n} ]$. Por lo que sostiene la integrabilidad uniforme. ¿Es este argumento es cierto o no? Cualquier sugerencias son realmente apreciados.

Answer 1

Si $T$ general es un tiempo de paro, entonces no, ya que se puede seleccionar por ejemplo, $T=\infty$ y la familia dicen ser uniformemente integrable es $(M_{\tau_n})$ para un aumento de la secuencia de los tiempos de parada $(\tau_n)$. La elección de $\tau_n = n$ que daría $(M_n)_{n\ge1}$ es uniformemente integrable para todo martingales $M$, lo cual es absurdo.

Si $T$ es un almacén de tiempo de parada (en particular, si $T$ es un determinista constante), entonces tu argumento es válido: Como nota, $M_{T\land \tau_n} = E(M_{T} | \mathcal{F}_{T\land \tau_n})$ por el teorema de muestreo opcional, y como $(E(X|\mathcal{G}))$, $\mathcal{G}$ van en el conjunto de todos los sub-$\sigma$-álgebras de algunos $\sigma$-álgebra es uniformemente integrable, el resultado se mantiene.