Prueba de discontinuidad de la función monótona

Question

Dejemos que $f:[a,b] \to \mathbb {R}$ sea no decreciente.

(a) Recordemos de Thm. 2.1.9 (c) que $f(x-)$ y $f(x+)$ existen en cada $x\in [a,b]$ , y concluir que $f$ es discontinuo en $x\in S $ si $f(x-) < f(x+)$ . Estoy asumiendo que esto es cierto porque el si el $f(x-)$ < la x+ entonces tendríamos una función constante no una función creciente. la segunda parte es más obvia ya que f es no decreciente entonces $f(x+) \geq f(x-)$ o violaría el enunciado original. ¿cómo trataría de exponer esto con $ e$ y $ \delta$ 's?

(b) Dé un límite superior para el número de puntos $x$ en el que el "salto $(f(x+)- f(x-))$ es mayor que un determinado $r>0$ .

¿un punto?

(c) Demuestre que el conjunto $S = \{ x\in [a,b]: f \text{ is discontinuous at }x \}$ es como máximo contable.

Creo que tengo esto resuelto, supongamos que S es incontable entonces S debe contener un Punto Límite, pero f es discontinua en x por lo que existe un B(r,x) r>0 s.t x está aislado para todo x en S si este no fuera el caso entonces f(x) sería continua por lo tanto S es contable.

Answer 1

Tienes que $S=\bigcup_{n\in \mathbb{N}} \{x\in [a,b]\mid f(x+)-f(x-)<1/n\}$ . ¿Qué se puede decir de los conjuntos de la unión?

Answer 2

Para (a) dejemos $x_n$ sea una secuencia arbitraria no decreciente que converge a $x$ . Entonces $f(x_n)$ es una secuencia acotada no decreciente, con Bolzano Weierstrass también sabemos que hay una subsecuencia convergente. Ahora miramos $a_n=x-\frac{1}{n}$ wlog decimos que $f(a_n)$ converge (podríamos tomar una subsecuencia para hacerlo). Vamos a llamar a este límite $f(x-)$ y obviamente $f(x-)\leq f(x)$ . Demostramos ahora que para cada no decreciente a $x$ secuencia convergente $x_n$ $f(x_n)$ converge a $f(x-)$ . Como $x_n$ converge a $x$ sabemos que para todos $m$ hay un $N$ tal que para todo $n>N$ $|x_n-x| < |x-a_m|$ . Por lo tanto, $$ f(a_m) \leq f(x_n) \leq f(x-).$$ Con el sandwhiching obtenemos $\lim f(x_n)= f(x-)$ .

Para (b) vamos a denotar $n$ como el número de saltos posibles. Como $f$ no es monótona decreciente tenemos que $n\cdot r \leq f(b)-f(a)$ . Por lo tanto, un límite superior será \N - n \leq \frac{f(b)-f(a)}{r}]

Como $f$ es no decreciente seguramente ahora que $f(x)\leq f(b)$ para todos $x$ . Una función no decreciente sólo puede tener discontinuidades de salto. Sea $y_i=f(x_i+)-f(x_i-)$ para todos $i \in I$ . Con $I$ Me refiero al conjunto de indexación de nuestros discontinuos. El $y_i$ mide los saltos de la función. Además, sabemos que $$f(b) \geq f(a) + \sum_{i\in I} y_i. $$ Como $f(b)$ es un número real es finito y por lo tanto $$\sum_{i \in I} y_i$$ debe converger. Esto implica que $I$ debe ser contable, porque una suma incontable de números positivos debe divergir (¿por qué?)