Ver el $u_t=a(x)u_{xx}$ si he a$a(x)\geq a_0>0$, entonces puedo ver en todos los libros que $C^{2,1}$ solución existe y es única. Sin embargo, si $a(x)\geq0$, que es degenerado, veo Friedman en su libro la construcción de la $K_{\epsilon}$: secuencia convergente uniformemente a$K$, que es la solución de los degenerados de la ecuación. Pero él no estatales de propiedad de este último. ¿Cuáles son los problemas de estas ecuaciones? Parece que tengo el problema de la construcción de una solución débil porque me falta coercitividad de la propiedad, así que tengo pocas esperanzas de tenerlo $C^{2,1}$. Pero, ¿qué clase de solución de la degenerados ecuación pertenece? thnaks!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto no es una respuesta completa, pero es demasiado largo para un comentario. Es un análisis de la pura problema de Cauchy en el caso de $a(x)=x^2$. El uso de semigroup teoría, se puede demostrar que el problema está bien planteado en el espacio $$ X=\Bigr\{u\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}:\int_{-\infty}^\infty|u(x)|^2\frac{dx}{x^2}<\infty\Bigl\}. $$ El hecho de que el valor inicial $u_0(x)=u(x,0)\in X$ implica que el $u_0$ debe desaparecer a un cierto orden en $x=0$.
La ecuación de $u_t-x^2u_{xx}=0$ puede ser transformada en la ecuación del calor por medio de un cambio de variable. Consideremos, en primer lugar la región de $x>0$. El cambio de $x=e^{-z}$ transforma la ecuación en $u_t-u_z-u_{zz}=0$, $u(z,0)=u_0(e^{-z})$. Ahora si $v(z,t)=u(z-t,t)$,$v_t-v_{zz}=0$$v(z,0)=u_0(e^{-z})$. Un cálculo similar se pueden vayan a efectuarse para $x<0$. Esto permite demostrar, por ejemplo, que si $$ \lim_{x\to0}x\,u_0'(x)=\lim_{x\to0}x^2\,u_0"(x)=0,\etiqueta{1} $$ entonces existe una única solución clásica.
Algunas de las observaciones están en orden. Tenemos $u(0,t)=u_0(0)$ todos los $t>0$. Por otra parte, $x=0$ actúa como una barrera de difusión. Si $u_0$ tiene soporte compacto contenido en $(0,\infty)$, $u(x,t)=0$ todos los $x<0$$t>0$. Esto está en agudo contraste con la ecuación del calor. La ecuación no es la regularización de a $x=0$. La solución es $C^{2,1}$ 0n $(\mathbb{R}\setminus\{0\})\times(0,\infty)$, pero sólo como regular como $u_o$$x=0$. ¿Qué sucede si $u_0$ no satisface (1)? La solución puede todavía ser construido, pero en general va a ser una solución sólo en un sentido débil. Por ejemplo, si $u_0(x)=\sin(-\log|x|)$,$u(x,t)=e^{-t} \sin(-\log|x|-t)$, que es discontinua en a $x=0$ todos los $t>0$.
Por último, puede algo ser dicho por el más general de la ecuación $u_t-|x|^\alpha u_{xx}=0$, $\alpha\ge0$? Si $0\le\alpha<2$, entonces el operador $|x|^\alpha u''$ tiene algunos compactnes propiedades, y es posible obtener algunos resultados. Si $\alpha>2$, se sabe muy poco.
