¿Cómo solucionar cuando el límite es igual a 0?

Question

si la posición $s(t) = -16t^2 + 40t + 24$ y la velocidad es $$v(t) = \lim_{x \to t} \frac{s(x)-s(t)}{x-t},$$ cuando se hace la bola de tener la velocidad de 0?

Si mis cálculos son correctos, siempre tiene 0 velocidad (que parece poco probable) $$ v(t) = \lim_{x \to t} \frac{s(x)-s(t)}{x t} \\ 0 = \lim_{x \to t} \frac{s(x)-s(t)}{x t} \\ 0 = \frac{\lim_{x \to t} \left(s(x)-s(t)\right)}{\lim_{x \to t} \left(x-t\right)} \\ 0 \left(\lim_{x \to t} \left(x-t\right)\right) = \lim_{x \to t} \left[s(x)-s(t)\right] \\ 0 = \lim_{x \to t} \left[ s(x)-s(t)\right] \\ 0 = \lim_{x \to t} s(x) - s(t) \\ s(t) = \lim_{x \to t} s(x) $$ Puedo multiplicar por $\lim_{x \to t} \left(x-t\right)$ en la cuarta fila? Supongo que no, ya que todo lo demás parece bastante estándar. Entonces, ¿cómo puedo solucionar esto?

Answer 1

$s(x)-s(t) = -16x^2 + 40x + 24 +16t^2 - 40t - 24= -16(x^2-t^2) + 40(x-t)$

Entonces $\dfrac{s(x)-s(t)}{x-t}=\dfrac{ -16(x^2-t^2) + 40(x-t)}{x-t}=-16(x+t)+40$

Cuando implica la $x\rightarrow{t}$ $v(t)=-32t+40$

Answer 2

Tienes algunas cosas extrañas ocurriendo. Le sugiero primero escribir explícitamente $s(t)$ y $s(x)$. Intentalo con una cantidad de $(x-t)$ en el numerador del factor que cancela con el denominador. Por último, evaluar la expresión restante cuando $x=t$. Ahora tienes $v(t)$ en una forma agradable, limpia y es en este punto que usted debe ajustar $v(t)$ igual a $0$.

Answer 3

Hay un poco de algo que se llama un derivado de que vas a ser informado acerca de en, oh, de dos a cuatro semanas en las que podría resolver este problema para usted.

Si usted está obligado a utilizar la definición de la pendiente de una línea tangente con límites, a continuación, utilizar una respuesta diferente, pero si usted tiene un decentemente flexible maestro, entonces te recomiendo aprender a deducir y comprobar su trabajo de esa manera.

Baste decir que la derivada de $s(t)=−16t^2+40t+24$ $v(t)=-32t+40$ (sugerencia Sugerencia ¿ves alguna relación entre estos dos? Trate de trabajar de un patrón que relaciona la posición y la velocidad de las funciones, es un desafío divertido si no ya lo saben y útil cuando se enseñan).

El tiempo al $v(t)=-32t+40=0$ es, de álgebra básica, en el tiempo $t=1.25$.

Answer 4

Su acercamiento con $\lim \limits_{x \to t}$ es correcta pero me parece más fácil dar un punto de partida un poco diferente:

Velocidad es %#% $ #%

Tenemos, $$v(t) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t+h)-s(t)}{h},$ $

$$s(t) = -16t^2 + 40t + 24$ $ Por lo tanto $$s(t+h) = -16(t+h)^2 + 40(t+h) + 24$ $

$$s(t+h) = -16t^2-32th-16h^2 + 40t+40h + 24$$

$$s(t+h)-s(t) = -16t^2-32th-16h^2 + 40t+40h + 24 +16t^2 - 40t - 24$$

$$s(t+h)-s(t) = -32th-16h^2 +40h$$

$$v(t) = \lim_{h \to 0} \frac{-32th-16h^2 +40h}{h}$$

Ahora resolver %#% $ #%

Answer 5

Las otras respuestas son básicamente diciendo esto, pero el truco para que el límite es utilizar la sustitución de la ecuación de $s()$. Si $s(t)=−16t^2+40t+24$, entonces para conseguir la $s(x)$ es sólo sustituir el $t$s $x$s: $s(x)=-16x^2+40x+24$.

A continuación, en su función de límite, reemplace $s(t)$ $−16t^2+40t+24$ y reemplace$s(x)$$-16x^2+40x+24$. Desde allí, se puede simplificar la ecuación un poco. Entonces, puesto que está tomando el límite cuando $x\rightarrow t$, usted puede simplemente sustituir todas las $x$s $t$s y simplificar aún más.

$\lim_{x\rightarrow t}{s(x)-s(t)\over x-t}$ [A partir de la ecuación. El objetivo aquí es para "cancelar" el denominador de modo que la división por cero puede ser ignorado.]
$=\lim_{x\rightarrow t}{(-16x^2+40x+24) - (−16t^2+40t+24)\over x-t}$ [Sustituto de la definición de $s()$.]
$=\lim_{x\rightarrow t}{(-16x^2+40x+24)+(16t^2-40t-24)\over x-t}$ [Distribuir el $-1$ el segundo término.]
$=\lim_{x\rightarrow t}{-16x^2+40x+24+16t^2-40t-24\over x-t}$ [No necesita de los paréntesis.]
$=\lim_{x\rightarrow t}{(16t^2-16x^2)+(40x-40t)+(24-24)\over x-t}$ [Re-organizar a poner similares términos cerca unos de otros.]
$=\lim_{x\rightarrow t}{16(t^2-x^2)+40(x-t)\over x-t}$ [Factor de la $16$ y $40$. $24-24=0$, eliminar los términos.]
$=\lim_{x\rightarrow t}{16(x+t)(t-x)+40(x-t)\over x-t}$ [Factor de $t^2-x^2$.]
$=\lim_{x\rightarrow t}{-16(x+t)(x-t)+40(x-t)\over x-t}$ [Tenemos $(t-x)$ pero necesitamos $(x-t)$, por lo que el factor de una $-1$.]
$=\lim_{x\rightarrow t}{(x-t)(-16(x+t)+40)\over x-t}$ [Factor de $(x-t)$.]
$=\lim_{x\rightarrow t}{-16(x+t)+40\over 1}$ [Tenga en cuenta que $(x-t)$ es un factor del numerador y el denominador y cancelar los términos semejantes. Esto es sólo permitido porque estamos tomando el límite cuando el denominador se pone arbitrariamente cercano a cero, y en realidad no la evaluación de la función a cero.]
$=\lim_{x\rightarrow t}{-16(x+t)+40}$ [Simplificar un poco.]
$=\lim_{x\rightarrow t}{-16(t+t)+40}$ [Ahora que hemos cancelado el denominador, establezca $x$ a nuestro límite, $t$.]
$=\lim_{x\rightarrow t}{-16(2t)+40}$ [$t+t$ es $2t$.]
$=\lim_{x\rightarrow t}{-32t+40}$ [Simplificar.]
$={-32t+40}$ [Porque no hay ninguna $x$ más, hemos encontrado a nuestro límite. Huzzah!]

Desde aquí se puede resolver fácilmente $v(t)=-32t+40=0$$t$.