en la anilla .

Question

Necesito resolver esta ecuación:

$x^2 = 1$ en el anillo $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$.

Sé que $(n - 1)(n - 1) \equiv 1 \pmod n$, en general $(n-a)^2 \equiv a^2 \pmod n$.

También sé que para $p$ prime todos los elementos de $\mathbb{Z}_p$ % invertible y aquí $1$y $p-1$ sus propias inversas.

¿Me podría decir ¿qué otras soluciones hay a esta ecuación?

Answer 1

Es necesario resolver para cada potencia principal dividiendo $n$, luego combinar los resultados con el Teorema del Resto Chino.

Para el primer impar $p$, $x^2-1\equiv 0\pmod{p}$ tiene más de 2 soluciones, y, de hecho, exactamente dos, ya que $1, -1$ son soluciones. Por Hensel del lexema, esto sigue siendo cierto para cualquier potencia de $p$, ya que la derivada de $x^2-1$$2x\not \equiv 0\pmod{p}$.

Sin embargo, para las potencias de 2, las cosas se ponen un poco más complicado. Mod 2, hay una solución (1). Mod 4, hay 2 soluciones (1,-1). Mod mayor potencia de 2, hay cuatro soluciones. Ver aquí para una explicación.

Ejemplo: $n=280=2^357$. Cuatro soluciones mod 8, dos mod 5, dos mod 7, por lo que habrá $4\cdot 2\cdot 2= 16$ soluciones mod 280.