Resolución de Poisson ' ecuación de s para una carga punto en 1-D

Question

Pido Disculpas de que esto es una continuación de una pregunta que me acaba de preguntar. De todos modos aquí es donde estoy:

Ok, así que estaba tratando de resolver la ecuación de Poisson para un punto de carga con una transformada de Fourier para obtener la conocida ecuación.

Esto es lo que hice hasta ahora:

Así que al final estoy tratando de resolver esto en 3 dimensiones, pero estoy terriblemente luchando con el 1-D solución.

$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} f(x) = \rho(x) $

Quiero expresar f y ρ en términos de sus transformadas de Fourier:

$f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(\vec{k})e^{i \vec{k}\vec{x}}dk$

y

$\rho(x) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}\rho(\vec{k})e^{i \vec{k}\vec{x}} dk$

Así que desde aquí os traigo la derivada en la integral que es $f(x)$ y operar en el $e^{i \vec{k}\vec{x}}$ plazo:

$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} -k^{2} f(\vec{k})e^{i \vec{k}\vec{x}}dk$

Tengo:

$\frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} -k^{2} f(\vec{k})e^{i \vec{k}\vec{x}}dk = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}\rho(\vec{k})e^{i \vec{k}\vec{x}} dk$

Y yo soy capaz de soltar las integrales debido a que la transformada de Fourier es único.

$-k^{2}f(\vec{k}) = \rho(\vec{k})$

Así que Ahora puedo resolver para $f(x)$:

$f(\vec{k}) = \frac{\rho(\vec{k})}{-k^2}$

Así que ahora por un punto de carga sé que $\rho(x) = q \delta(x)$ que me va a dejar con el siguiente resultado cuando trato de usar las transformadas de Fourier para transformar $f(\vec{k})$$f(\vec{x})$:

$f(\vec{x}) = \frac{-1}{2 \pi} \frac{q}{\epsilon_o} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{k^2}e^{i \vec{k}\vec{x}}dk $

Sin embargo no sé cómo integrar esta a encontrar la respuesta en x-espacio. He ido mal en alguna parte o es su cierto truco para esta integral?

Answer 1

Tomamos nota de que todos los análisis siguiente se utiliza la notación que se interpreta en el sentido de las Distribuciones o Funciones generales.

Con esa nota, vamos a empezar por desglosar el problema en sus componentes, cada uno de los cuales es de esperar que la primaria.

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PASO 1:

En primer lugar, sabemos que la transformada de Fourier de la Delta de Dirac $\delta$ es

$$\begin{align} \mathscr{F}\{\delta\}(k)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)e^{ikx}\,dx\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{align}$$

A un LADO:

Esto implica que la Inversa de la transformada de Fourier de la función constante $1$ es la Delta de Dirac $\delta(x)$. Podemos reescribir esta relación como $$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}\,dk=2\pi\,\delta(x)} \tag 1$$ donde de nuevo la notación en $(1)$ se interpreta como una distribución.

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PASO 2:

Segundo, recordar que la transformada de Fourier tiene la propiedad de tal manera que la transformada de Fourier de la $n$'th orden de la derivada, $D^nf$, de una función de $f$, está dada por

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\mathscr{F}\{D^nf\}(k)=(ik)^n\mathscr{F}\{f\}(k)} \tag 2$$

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PASO 3:

Ahora, definir la función de rampa $r(x)$

$$r(x)= \begin{cases} x&,x\ge 0\\\\ 0&,x<0 \end{casos}$$

Tenga en cuenta que la segunda derivada de la función de rampa es $D^2r=\delta$. El uso de $(2)$ revela que

$$\begin{align} \mathscr{F}\{r\}(k)&=\frac{1}{(ik)^2}\mathscr{F}\{D^2r\}(k)\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{(ik)^2} \end{align} \etiqueta 3$$

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PASO 4:

Tomando la inversa de la transformada de Fourier de $(3)$ y multiplicando por $2\pi$ rendimientos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{2\pi\,r(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{-1}{k^2}e^{-ikx}\,dk }\tag 4$$

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PASO 5:

Por último, el uso de $(4)$ nos encontramos con que

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{-1}{2\pi}\frac{q}{\epsilon_0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{k^2}e^{ikx}\,dk=\frac{q}{\epsilon_0}r(x)}$$

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Podemos utilizar el análisis anterior, para resolver el más general unidimensional de la Ecuación de Poisson

$$f''(x)=\rho(x)$$

Tomando las transformadas de Fourier de los rendimientos

$$\hat f(k)=\frac{-1}{k^2}\hat \rho(k)$$

con lo cual la inversión revela que

$$\begin{align} f(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{-1}{k^2}\hat \rho(k)e^{-ikx}\,dk\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{-1}{k^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\rho(x')e^{ikx'}\,dx'\right)e^{-ikx}\,dk\\\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\rho(x')\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{-1}{k^2}e^{-ik(x-x')}\,dk\,dx'\\\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\rho(x')r(x-x')\,dx'\\\\ &=\int_{-\infty}^{x}(x-x')\,\rho(x')\,dx'\\\\ \end{align}$$

Por lo tanto, la solución general es

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{f(x)=\int_{-\infty}^{x}(x-x')\,\rho(x')\,dx'}$$