Por qué no el % de notaciones $\mathbb{Q}( \sqrt[4]{4})$y $\mathbb{Q}( \sqrt[4]{-4})$ ser utilizado para los campos obtenidos por adición formal de ceros respectivamente $X^4-4, X^4+4$ $\mathbb{Q}$.
Sé $\sqrt[4]{4}$ es un cero formal, no es un número, pero aún no entiendo exactamente lo que está mal con él.
La notación es ambigua porque al parecer la intención de la raíz de $X^4-4$, pero este polinomio no es irreducible. Que los factores en el producto de $X^2-2$$X^2+2$, ambos de los cuales son irreductibles. Las correspondientes extensiones de $\mathbf{Q}$$\mathbf{Q}(\sqrt{2})=\mathbf{Q}[X]/(X^2-2)$$\mathbf{Q}(\sqrt{-2})=\mathbf{Q}[X]/(X^2+2)$. Estos campos no son isomorfos.
En términos concretos, si se consideran los subcampos de $\mathbf{C}$ obtenido por contigua a la $4$ raíces de $X^4-4$, luego de recibir dos campos que no son isomorfos. Que uno debe de $\mathbf{Q}(\sqrt[4]{4})$ significa?
La notación $\mathbf{Q}(\alpha)$ realmente sólo tiene sentido si $\alpha$ es un elemento de una determinada extensión de $\mathbf{Q}$ (en cuyo caso es el menor subcuerpo de que la extensión que contenga $\alpha$) o si $\alpha$ es destinado para denotar una raíz de una irreductible polinomio $f(X)\in\mathbf{Q}[X]$. A continuación, el campo de $\mathbf{Q}(\alpha)$ admite intrínseca de la descripción $\mathbf{Q}[X]/(f(X))$.
El problema es que si se replica el proceso formal se utiliza cuando se puede obtener un campo escribiendo $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, en los casos que usted menciona que el resultado no es un campo. Esto es una consecuencia del hecho de que los polinomios sugerido por las notaciones $\sqrt[4]{4}$ $\sqrt[4]{-4}$ no son irreducibles (es decir, tienen trivial factorizations), como se menciona en los comentarios. Si en lugar de tomar $\sqrt[4]{4}$ para referirse a un determinado número complejo como $\sqrt{2}$ o $\sqrt{2}i$, entonces el problema es que el campo resultante depende de la raíz cuarta de $4$ usted elija, por lo que la notación es ambigua. Esto también los resultados de la reducibilidad de los polinomios.
Más precisamente:
Opción 1: por $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{4})$, usted tiene la intención de participar en un puramente formal del proceso. Se adhieren a $\mathbb{Q}$ elemento $\alpha$ la satisfacción de la relación formal $\alpha^4 = 4$. La aritmética en este nuevo sistema debe ser hecho de forma normal, usando las propiedades normales de la $+,\times$, y simplificar el uso de la relación $\alpha^4=4$ siempre que sea posible.
Esto conduce a una coherente aritmética sistema (más precisamente un anillo), pero no es un campo. Usted puede ver esto, por ejemplo, por el hecho de que los elementos $\alpha^2+2$ $\alpha^2-2$ producto cero:
$$(\alpha^2+2)(\alpha^2-2) = \alpha^4 - 4 = 4-4 = 0$$
Esto hace que sea imposible que los elementos $\alpha^2+2$ $\alpha^2-2$ tener inversos. Por ejemplo, si $\alpha^2+2$ tenía una relación inversa entre la $\beta$, tendríamos la siguiente contradicción:
$$ \alpha^2 - 2 = (\alpha^2-2)\cdot 1 = (\alpha^2-2)\cdot (\alpha^2+2)\beta = 0\beta = 0$$
Opción 2: por $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{4})$ usted tiene la intención de referirse al campo generado más de $\mathbb{Q}$ por uno de los cuatro números complejos que son de cuarta raíces de $4$, es decir,$\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{2}i,-\sqrt{2}i$. El problema aquí es que usted consigue diferentes (y ni siquiera isomorfo) campos dependiendo de la elección que haga. Por ejemplo, en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, $-2$ no es un cuadrado, pero en $\mathbb{Q}(\sqrt{2}i)$, $-2$ es un cuadrado.
Observación: El proceso de formalmente contigua a un elemento $\alpha$ a un campo (decir $\mathbb{Q}$) que satisface una cierta relación algebraica $f(\alpha)=0$ se hace preciso con la noción de que el anillo cociente de un polinomio anillo. El resultado es el cociente de la polinomio anillo de $\mathbb{Q}[x]$ por el director ideal generado por a $f$, es decir,$\mathbb{Q}[x]/(f)$. Esto es lo que está pasando en la Opción 1 de arriba. Es un buen ejercicio para probar que el anillo es un campo si y sólo si $f$ es irreductible.
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