Sobre las fórmulas para determinar el ideal integral con norma específica

Question

(1) Por $\mathbb{Q}(\sqrt{10})$, el anillo de enteros es $\mathbb{Z}[\sqrt{10}]$, y para determinar la integral ideal con la norma $3$, podemos utilizar la siguiente fórmula:

Por $X^2 − 10\equiv (X + 1)(X − 1)\text{ mod 3}$, entonces tenemos el conjugado ideales con la norma 3: $(3, \sqrt{10}+1), (3, \sqrt{10}-1)$.

(2) Por $\mathbb{Q}(\sqrt{17})$ el anillo de enteros es $\mathbb{Z}[\alpha]$ donde $\alpha=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$ y para determinar la integral ideal con la norma $2$, podemos utilizar la siguiente fórmula:

$0=(\alpha-1/2)^2-17/4=\alpha^2-\alpha-4$ $X^2 − X − 4 ≡ X(X + 1) \text{ mod 2}$ entonces tenemos el conjugado ideales con la norma 2: $(2,\alpha),(2,\alpha+1)$.

Estoy confundido con la razón de estas dos fórmulas, donde están estas fórmulas. En realidad, yo no puedo encontrar ninguna referencia para ilustrar estas fórmulas. ¿Alguien puede explicar estas dos fórmulas? Gracias!

Answer 1

Esta respuesta, a pesar de su longitud, no es una respuesta completa, pero creo que voy a dar algunas ideas. Su pregunta se siente como otro que te he contestado antes, aunque creo que la pregunta anterior estaba más preocupado con los números que con ideales.

Independientemente de ello, creo que el excesivo énfasis temprano en la definición de $\alpha$ (a veces $\theta$ o $\omega$, pero creo que la última debe ser reservado para un timbre específico) sólo sirve para confundir a los estudiantes.

Sin embargo, no estoy seguro de que las fórmulas que te han dado son correctas, pero puedo estar equivocado, como he abordado este tema desde una diferente, mucho menos sistemático ruta que la suya.

Dado un squarefree entero $d$, la norma función está definida para todo número en $\mathbb Q(\sqrt d)$, si no que también el número en el anillo de enteros algebraicos. Es decir, si $a$ $b$ son racionales y los números reales, entonces $N(a + b \sqrt d) = a^2 - db^2$. Y si $a + b \sqrt d$ es un entero algebraico, entonces la norma es un integer ordinario.

Por ejemplo, considere el número de $$\frac{3 + \sqrt{10}}{2}.$$ Then $$N\left(\frac{3 + \sqrt{10}}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 10\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} - \frac{10}{4} = -\frac{1}{4},$$ que no es un número entero.

De hecho, para un número $a + b\sqrt{10}$ a ser un entero algebraico, $a$ $b$ deben ser ordinarias enteros. Desde allí es fácil ver que $a - 10b = \pm 3$ no tiene soluciones, por lo tanto no hay número en este dominio puede tener una norma de 3, y así el ideal con que la norma no puede ser un director ideal.

El menor entero positivo múltiplo de 3 que es posible una norma en este dominio es de 6, 9 pero funciona, también, que nos da los ideales $\langle 3, 1 - \sqrt{10} \rangle$$\langle 3, 1 + \sqrt{10} \rangle$.

Ahora vamos a ir a $\mathbb Q(\sqrt{17})$, y consideran que el número de $$\frac{3 + \sqrt{17}}{2}.$$ Then $$N\left(\frac{3 + \sqrt{17}}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 17\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} - \frac{17}{4} = -\frac{8}{4} = -2,$$ que es un entero.

Desde la unidad fundamental de este dominio es de la norma 1 en lugar de la norma $-1$, un número con una norma de 2 es imposible. (Uy, tonto error, no s $29 + 7\sqrt{17}$ dividido por 2, y una infinidad de otros. Me quedo con todo lo demás.)

Pero con ideales, no tiene que preocuparse acerca de los signos como mucho, y por lo $$\langle 2 \rangle = \left\langle \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \right\rangle \left\langle \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \right\rangle,$$ un producto de los principales ideales.

Por supuesto, si usted quiere interpretar en los términos de $$\alpha = \frac{1 + \sqrt{17}}{2},$$ puede, así:

$$\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{17}}{2} = \frac{4}{2} - \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}\right) = 2 - \alpha$$ and $$\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2} = \frac{2}{2} + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}\right) = 1 + \alpha.$$

Usted debe reconocer que el último número como un co-generador de uno de los ideales que usted los encontró: $\langle 2, 1 + \alpha \rangle$. Pero desde $(2 - \alpha)(1 + \alpha) = -2$, el ideal de $\langle 2 \rangle$ está contenida en el ideal de $\langle 1 + \alpha \rangle$, y por lo tanto 2 es redundante generador en $\langle 2, 1 + \alpha \rangle$.

Como el lugar ideal para los $\langle 2, \alpha \rangle$, que también puede ser reducido a un director de ideal, es decir,$\langle \gcd(2, \alpha) \rangle$, pero no creo que eso es un alojamiento ideal, ya que, para empezar, $N(\alpha) = -4$.

Answer 2

Contrario a la algorítmica respuesta de @Le Jagy, la mina será de carácter teórico, basado en la descomposición de números primos en un número de anillo. Primero vamos a fijar definiciones y notaciones. Para un campo de número de $K$ con anillo de enteros $A$ el (numérico) la norma de un ideal de a $I$ $A$ es el entero $N(I)$ = orden de $A/I$. Pero también se pueden considerar como el principal ideal de $(N(I))$ generado por $N(I)$ $A$ y mira su (único) descomposición en potencias de distinta primer ideales de $A$, decir $N(I)=Q_1^{e_1} ... Q_r ^{e_r }$ (*), donde $e_j$ es el índice de ramificación de $Q_j$. En el caso de $K/\mathbf Q$ es de Galois, todos los $Q_j$ ' s son mutuamente conjugado bajo la acción de $Gal(K/\mathbf Q)$ y todos los $e_j$ 's son el mismo. Tenga en cuenta que la situación lleva a lo largo de casi textualmente a la relativa caso, es decir, cuando la sustitución de $\mathbf Q$ por un campo de número de $k$. Ver, por ejemplo, El producto de todos los conjugados de un ideal es un director ideal generado por la norma.

Por lo tanto el problema de los ideales de una ecuación cuadrática campo $K=\mathbf Q (\sqrt d)$ tener el primer norma $p$ se reduce a la división de descomposición $(p) = Q_1.Q_2$ (esto sucede iff $p=2$ $d \equiv 1$ mod $8$ o $p$ impar y $(\frac dp)=1$). En general, la búsqueda de la descomposición (*) anterior no es una tarea fácil. Pero no es un teorema de Dedekind que funciona "casi" todo el tiempo. Usted puede encontrar que, por ejemplo, en el de Marcus libro "Campos de Número", capítulo 3, thm. 27. La necesaria hipótesis es : si $K=\mathbf Q(\alpha)$, $p$ no dividir el índice de $[A:\mathbf Z[\alpha]]$. Entonces, denotando por $g$ el monic mínima polinomio de $\alpha$, $\bar g = \bar g^{e_1} ... \bar g^{e_r}$ la factorización de la imagen de $g$$\mathbf F_p [X] $, uno ha $Q_j = (p, g_j (\alpha))$. Este es exactamente lo que se hace en el primer ejemplo.

A primera vista, Dedekind del teorema no se aplica a su segundo ejemplo. Afortunadamente, en el caso particular de una ecuación cuadrática campo $\mathbf Q (\sqrt d)$, el teorema puede ser afilado para cubrir todos los casos, excepto cuando se $p=2$ $d \equiv 1$ mod $4$ , y en este caso excepcional, el resultado puede ser obtenida por la toma de $\alpha=(1+\sqrt d)/2$ (op. cit., comentarios al final de cap. 3, pág. 82) ./.

Answer 3

en el marco de http://math.blogoverflow.com/2014/08/23/binary-quadratic-forms-over-the-rational-integers-and-class-numbers-of-quadratic-%EF%AC%81elds/

En caso de interés: las clases para $\Delta = 40$ están representados por

1. 1 6 -1 ciclo de longitud 2
2. 2 4 -3 longitud de ciclo 6

que prefieren, como clases de $x^2 - 10 y^2$ $2 x^2 - 5 y^2.$ en La última, integralmente representar a $3,$ el total de Gauss, Lagrange ciclo de

0  form   2 4 -3   delta  -1     ambiguous  
1  form   -3 2 3   delta  1
2  form   3 4 -2   delta  -2
3  form   -2 4 3   delta  1     ambiguous            -1 composed with form zero  
4  form   3 2 -3   delta  -1
5  form   -3 4 2   delta  2
6  form   2 4 -3

La asignación de las formas ideales es $$ \langle A,B,C \rangle \mapsto \left( A, \frac{B + \sqrt \Delta}{2} \right), $$ while $\sqrt {40} = 2 \sqrt {10}.$ $ \langle 3,4,-2 \rangle $ $ \langle 3,2,-3 \rangle $ $SL_2 \mathbb Z$ equivalente, mientras que el primero es equivalente a $ \langle 3,-2,-3 \rangle $ por un solo paso. Tenemos $$ \langle 3,-2,-3 \rangle \mapsto \left( 3, \sqrt {10} - 1 \right), $$ $$ \langle 3,2,-3 \rangle \mapsto \left( 3, \sqrt {10} + 1 \right). $$

For $17,$ sólo una clase

1. 1 3 -2 longitud de ciclo 6

con el ciclo de

0  form   1 3 -2   delta  -1     ambiguous  
1  form   -2 1 2   delta  1
2  form   2 3 -1   delta  -3
3  form   -1 3 2   delta  1     ambiguous            -1 composed with form zero  
4  form   2 1 -2   delta  -1
5  form   -2 3 1   delta  3
6  form   1 3 -2

$$ \langle 2,1,-2 \rangle \mapsto \left( 2, \frac{1 + \sqrt {17}}{2} \right), $$ $$ \langle 2,3,-1 \rangle \mapsto \left( 2, \frac{3 + \sqrt {17}}{2} \right), $$