Representaciones de grupos superficiales mediante conexiones de foliaciones

Question

EDIT: Tony Pantev, ha señalado que la respuesta a esta pregunta aparecerá en el próximo trabajo de Bogomolov-Soloviev-Yotov. Espero que la lectura!

De fondo

Deje $E \to X$ ser un holomorphic vector paquete de más de un complejo colector. Una conexión de $A$ $E$ se llama holomorphic si en el local de holomorphic trivialisations de $E$, $A$ es administrado por un holomorphic 1-formulario con valores en la Final(E).

Observe que la curvatura de $A$ es necesariamente un (2,0)-forma. En particluar, holomorphic conexiones a través de las superficies de Riemann son planas. Esto será importante para mi pregunta.

La Pregunta

Estoy interesado en la siguiente situación. Deje $E \to S$ ser un rango de 2 holomorphic vector paquete a través de una superficie de Riemann de género $g \geq 2$. Supongo que $E$ admite un global de holomorphic trivialización (que yo no fix) y que nos elija un lugar de fuga de la sección $v$$\Lambda^2 E$. (Así que puedo hacer arreglar una trivialización de la determinante paquete.) Quiero considerar holomorphic conexiones en $E$ hacer $v$ paralelo. El holonomy de conexión de la toma valores en $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ (modulo de conjugación).

Mi pregunta: si me permiten cambiar la compleja estructura en $S$, que conjugacy clases de representaciones de $\pi_1(S)$ $\mathrm{SL}(2,\mathbb C)$ surgir como el holonomy de tales holomorphic conexiones?

EDIT: Como jvp señala, algunos reducible representaciones nunca surgir de esta manera. Yo tenía en mente irreductible de las representaciones y, además, con discreta de la imagen en $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$. Lo siento por no mencionar que en el principio!

La motivación

Un ingenuo dimensión recuento muestra que, de hecho, los dos espacios tienen la misma dimensión:

Para el holomorphic conexiones, si usted elige un holomorphic trivialización de la $E\to S$, entonces la conexión se da por un holomorphic 1-formulario con los valores en $sl(2, \mathbb C)$. Esta es una $3g$ espacio tridimensional. El cambio de la trivialización corresponde a una acción de $\mathrm{SL(2,\mathbb C)}$, por lo que no son, de hecho, $3g-3$ no equivalentes holomorphic conexiones fija de estructura compleja. Combinado con el $3g -3$ espacio tridimensional de estructuras complejas en $S$ vemos un espacio de moduli de dimensión $6g-6$.

Para las representaciones, el grupo $\pi_1(S)$ tiene un estándar de presentación con $2g$-generadores y 1 relación. Por lo tanto el espacio de las representaciones en $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ tiene dimensión $6g-3$. Teniendo en cuenta las representaciones hasta conjugación restamos los otros 3 para llegar al mismo número de $6g-6$.

Un curioso comentario

Observe que si queremos jugar a este juego con otro grupo, además de a $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ que no tiene dimensión 3, entonces los dos módulos de los espacios no tienen la misma dimensión. Así que parece que $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ debe ser importante en la respuesta de alguna manera.

Answer 1

Un ejemplo

Considere la posibilidad de cualquier representación $\varrho$ $\pi_1(S)$ a $\mathbb C^\ast$. La representación $\varrho \times \varrho^{-1}$ puede ser, aunque como representación en $SL(2,\mathbb C)$. Cualquier conexión a la realización de esta representación dejar dos líneas haces invariantes. Estas líneas paquetes están determinados por la imagen de $\varrho$ $\varrho^{-1}$ a $H^1(S, {\mathcal O^{\ast}}_S)$ por el natural de morfismos $$Hom(\pi_1(S), \mathbb C^{\ast}) \H^1(S, \mathbb C^{\ast}) \H^1(S,{\mathcal O_S}^{\ast})$$

Así pues, en este caso, la representación que determina la línea de paquete, y debe ser de la forma $\mathcal L \oplus \mathcal L^*$. Por supuesto, la línea de haz de $\mathcal L$ puede ser trivial para algunos de estructuras complejas, pero no para otros. Pero si empezamos con un no-trivial de representación de los valores en $S^1\subset \mathbb C^{\ast}$, en la línea de haz de no ser trivial en no importa qué estructura compleja desde $H^1(S,S^1)$ es naturalmente isomorfo a $\ker H^1(S,\mathcal O_S^{\ast}) \to H^2(S, \mathbb Z)$.

Hilbert 21 de Problema

Su pregunta está relacionada con Hilbert 21 de problema. En ella, en lugar de considerar un compacto de superficie de Riemann de género $g$ con un holomorphic conexión en el trivial paquete se considera $\mathbb P^1$ menos que un conjunto finito $\Gamma$ de puntos con un meromorphic conexión en el trivial bunle con en la mayoría de los polos simples en $\Gamma$.

Es sabido que cada representación de $\pi_1(\mathbb P^1 - \Gamma)$ $SL(2,\mathbb C)$ es realizado por un meromorphic conexión en el trivial bundle con el simple polos en $\Gamma$. Creo que este resultado es debido a Birkhoff

En Hilbert 21 de problema un parámetro de conteo no es suficiente para excluir a los otros grupos $SL(n,\mathbb C)$, $n \ge 3$. De hecho Bolibruch demostrado que irreducible representaciones son siempre realizables, y construido contador de ejemplos para el caso general, comenzando con dimensión $n \ge 3$ si no recuerdo mal. Por otra parte, hay ejemplos que muestran que la respuesta puede depender de la analítica de los invariantes de la set $\Gamma$.

Answer 2

Esta cuestión se aborda en un trabajo muy reciente de Bogomolov-Soloviev-Yotov (creo que no está en la web). Entre las muchas cosas interesantes que probar que el mapa desde el espacio de moduli de pares $(C,\nabla)$ donde $\nabla$ es un holomorphic conexión en el trivial de rango dos bulto en alguna curva suave $C$ es submersive siempre $\nabla$ es irreductible e $C$ es genérico.

Con respecto a Jack Evans' comentario: esta es una cuestión muy diferente de la cuestión de la determinación de respresentations en una forma real (la cual ha sido ampliamente estudiado por Hitchin, Goldman, García-Prada, etc.). Se trata de un holomorphic subvariedad en los módulos de representaciones. Una mejor analogía será buscar en el espacio de moduli de opers que es el espacio de moduli de holomorphic plano de las conexiones fijas (no trivial) rango de dos vectores paquete, es decir, el 1-st jet paquete de theta característica de la curva.

Answer 3

¿Han comparado esto a papel 1987 de Hitchin "El uno mismo dualidad ecuaciones en a superficie de Riemann"? Es como la versión de $SU(2)$ de la $SL(2,\mathbb{R})$ uno.

Answer 4

Soy demasiado nuevo para agregar esto a mi comentario anterior, así que disculpas.

Dmitri, el trivial paquete puede ser parte de una estable Hitchin Par (específicamente si a y B son dos matrices sin subespacios propios tensored con secciones independientes de la canónica de paquete).

La construcción anterior genera mapas de la Hitchin espacio de moduli a sí mismo, si empezamos con el plano $SU(2)$ conexiones y utilizar el campo de Higgs para definir un holomorphic de conexión y, a continuación, el mapa de la plana, conexión inducida por el holomorphic conexión a la definida por la auto-dualidad ecuaciones. Es que esto no es probable que se holomorphic o bien educados bajo cualquiera de las estructuras complejas?

Asimismo fija de $SU(2)$ representación habrá un mapa del espacio construido como se sugirió anteriormente a la Hitchin espacio de moduli para cualquier familia de curvas (o $SL(2,\mathbb{R})$ de representación) y holomorphic conexiones.