Preguntas sobre bases en topología

Question

Tengo algunas preguntas con respecto a las bases en la topología. Hay diferentes maneras de definir una topología y quiero distinguir entre ellos.

Deje $X$ ser un espacio topológico. Una colección de $\mathcal{B}\subseteq 2^{X}$ se llama una base para la topología sobre X si las siguientes son satisfechos:

1) Cada elemento de a $\mathcal{B}$ es un subconjunto abierto de $X$.

2) Cada subconjunto abierto de $X$ es la unión de algunos de la colección de elementos de $\mathcal{B}$.

Deje $X$ ser un conjunto, y supongamos $\mathcal{B}\subseteq 2^{X}$. A continuación, $\mathcal{B}$ es una base para algunos de topología en $X$ fib cumple las siguientes:

1) $\bigcup\limits_{B\in\mathcal{B}}B=X$

2) Si $B_1,B_2\in\mathcal{B}$$x\in B_1\cap B_2$, entonces existe un elemento $B_3\in\mathcal{B}$ tal que $x\in B_3 \subseteq B_1\cap B_2$.

Cuando se le preguntó para demostrar que un conjunto es una base para la topología en la parte superior. espacio de $X$, se debe usar la primera definición. Sin embargo, en este caso, debemos también mostrar el "criterio?"

(Base de Criterio) Supongamos $X$ es un espacio topológico, y $\mathcal{B}$ es una base para la topología. Demostrar que un subconjunto $U\subseteq X$ es abrir el fib se satisface la siguiente condición: Para cada $x\in U$ existe $B\in\mathcal{B}$ tal que $x\in B\subseteq U$.

Cuándo debemos utilizar la segunda definición (propuesta)?

Answer 1

Si estás dado un espacio topológico, lo que significa que dada la topología, que sin duda necesita el uso de la primera definición, como estado.

Usted debe utilizar la segunda instrucción si se dan una serie $X$ pero no le dijo a su topología. Me puedo imaginar a una pregunta como:

"Aquí es un conjunto $X$, y aquí es un subconjunto de a $2^X$. Es este subconjunto de $2^X$ base para una topología?"

Aquí no se puede utilizar la primera definición en todo, porque no tienen ninguna noción de lo que el subconjuntos. Usted está pidiendo "Si yo te doy esta base, me puede dar una topología?" como opuesto a "he Aquí una topología, es esta una base para la topología que te he dado?".

Su "criterio" parece estar hablando acerca de los conjuntos de $U$ (que no se ha definido - supongo que estos son los conjuntos en el espacio topológico $X$?), lo que significa que usted ya tiene una topología, y por lo que no está en la situación a utilizar la segunda definición. Usted necesita este criterio para sostener en el orden que lo tuyo es una base para la topología se te ha dado.

Answer 2

Que la proposición sólo va a demostrar que su conjunto $\mathcal{B}$ es la base para algunos de topología. Esto no significa que vaya a ser en realidad una base para la topología en realidad usted está considerando.

La base del criterio junto con todos los conjuntos en $\mathcal{B}$ abierto es equivalente a su primera definición. Así que tenemos la siguiente proposición que es fácil de probar.

Deje $(X, \tau)$ ser un espacio topológico y un conjunto $\mathcal{B} \subset \tau$. A continuación, $\mathcal{B}$ es una base para la topología $\tau$ $X$ si y sólo si para cada abierto $U$ y cada una de las $x \in U$, existe un $B \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B \subset U$.