Supongo que $q$ es una energía primera. ¿Podemos decir cualquier cosa sobre un primer divisor de $1+q+q^2+q^3+q^4$? ¿Es cualquier divisor principal congruentes a 1 modulo 10?
Respuesta
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pisco125
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Sea un primer divisor de $p$, entonces $ de $1+q+q^2+q^3+q^4$ $$1+q+q^2+q^3+q^4 \equiv 0 \pmod{p} \implies q^5-1 \equiv 0 \pmod{p}$
Por lo que tiene de $q$ % orden $1$o $5$ en el grupo $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$. Si tiene orden $1$, entonces el $q\equiv 1 \pmod{p}$, por lo tanto %#% $ #%
Si tiene de $$5 \equiv 1+q+q^2+q^3+q^4 \equiv 0 \pmod{p} \implies p=5$ $q$, $5$, de la orden obtenemos $|(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}| = p-1$.
Por lo tanto cada divisor principal de $5|(p-1)$ es o $1+q+q^2+q^3+q^4$ o congruente a $5$ modulo $1$. Puesto que el número $5$ siempre es impar, su primer divisor es o $1+q+q^2+q^3+q^4$ o congruente a $5$ modulo $1$.
