Si , , demostrar eso

Question

Si $f(s) = (1+s)^{(1+s)^{(1+s)/s}/s}$, muestran que $\lim_{s \to \infty} f(s)/s = 1$.

Esta función viene en la parametrización una de las soluciones para $x^y = y^x$. Véase, por ejemplo, aquí: Hay soluciones reales a $x^y = y^x = 3$ donde $y \neq x$?

Si escribimos $y = rx$, tenemos $x = r^{1/(r-1)}$ y $y=r^{r/(r-1)}$.

Entonces $x^y =(r^{1/(r-1)})^{r^{r/(r-1)}} =r^{r^{r/(r-1)}/(r-1)} $.

Finalmente, si escribimos $r = 1+s$, este es $f(s) = (1+s)^{(1+s)^{1+1/s}/s} $.

Wolfy dice que, alrededor de $s=0$, $$f(s) =e^e + \dfrac{e^{1 + e} s^2}{24} - \dfrac{e^{1 + e} s^3}{24} + \dfrac{e^{1 + e} (219 + 5 e) s^4}{5760} + O(s^5) $$ y, alrededor de $s = \infty$, $$f(s) =s + (\log^2(1/s) - \log(1/s) + 1) + \dfrac{\log^4(1/s) - 3 \log^3(1/s) + 5 \log^2(1/s) - 6 \log(1/s) + 2}{2} + O((1/s)^2), $$ llamar a esto un generalizado de Puiseux de la serie.

Mi pregunta es: Cómo mostrar que esa expansión en $s = \infty$ es correcta. Yo estaría satisfecho con una prueba de que, como dice el título, $\lim_{s \to \infty} \dfrac{f(s)}{s} = 1 $.

Podría ayudar a tenga en cuenta que

$\dfrac{y}{x} = r$ y $\dfrac{r}{s} = \dfrac{1+s}{s} = 1+\dfrac1{s} $.

Answer 1

La expansión en el infinito es realmente fácil. Siguientes métodos generales para proporcionar extensiones en el infinito:

$$f(1/s)=(1+1/s)^{(1+1/s)^{(1+1/s)/(1/s)}/(1/s)}=(1+1/s)^{(s+1)\cdot(1+1/s)^s}$$

$s\to0^+$, Sabemos que

$$(1+1/s)^s\to1$$

$$\implies(1+1/s)^{(s+1)\cdot(1+1/s)^s}\sim(1+1/s)^{(s+1)}$$

Que nos da

$$s\cdot f(1/s)\sim s\cdot(1+1/s)^{(s+1)}\to1$$

desde

$$s\cdot(1+1/s)^{(s+1)}=\frac{s^{s+2}}{(s+1)^{s+1}}\to\frac11$$

desde las conocidas pruebas de $\lim_{x\to0^+}x^x=1$.

Answer 2

$$\frac{f(s)}{s} = (1+s)^{(1+s)^{(1+s)/s}/s}/s$ $ $$\log(\frac{f(s)}{s}) = \frac{(1+s)^{(1+s)/s}\log(1+s)}{s}-\log(s)$ $ Ahora estamos afirmando %#% $ #%

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Ahora ver que el lado izquierdo puede ser cambiada en $$\lim{s \to \infty} \left(\frac{(1+s)^{(1+s)/s}\log(1+s)}{s}-\log(s)\right)=0$ $ ahora es tan bueno como siempre dejar $$ \lim{s \to \infty}\left(\frac{(1+s)^{(1+s)/s}\log(1+s)-s\log(s)}{s}\right)$ $r=s+1$ $$$ =\lim{r \to \infty}\left(\frac{r^{\frac{r}{r-1}}\log(r)-(r-1)\log(r-1)}{r-1}\right)$ $por L'Hopital $$ =\lim{r \to \infty}\left(\frac{r\log(r)-(r-1)\log(r-1)}{r-1}\right)$ $