Si $\mathbb Z^m\twoheadrightarrow\left(\mathbb Z\big /2\mathbb Z\right)^n$ es un homomorfismo de sobreyectiva, ¿por qué entonces es $m=n$?

Question

<blockquote> <p>Si $\mathbb Z^m\twoheadrightarrow\left(\mathbb Z\big /2\mathbb Z\right)^n$ es un homomorfismo de sobreyectiva y $m\le n$, ¿por qué obligar a $m=n$?</p> </blockquote> <p>¿No hay ninguna opción adecuada para un mapa cuando $m< n$?</p>

Answer 1

El objetivo es un espacio vectorial de dimensión $n$ en el campo $\mathbb{F}_2$, por lo que no puede ser atravesado por menos de $n$ vectores. Sin embargo, la imagen de cualquier mapa de $\mathbb{Z}^m$ consisten en combinaciones lineales de las imágenes de los elementos de #% de #% %

$m$$

Answer 2

¿Así que en otras palabras pregunte: $\mathbb{Z}_2^n$ tengan un grupo electrógeno con menos elementos de $n$ entonces? La respuesta es no. Esto es porque si ${gi}{i=1}^k$ es tal subconjunto $k<n a="" as="" combinaciones="" de="" deduce="" desde="" diferentes="" elementos="" entonces="" hay="" luego="" m="" producen="" que="" se="" son="" y="">$g_i$$

que es claramente una contradicción. Este argumento (a diferencia del argumento de espacio del vector) se puede generalizar a cualquier producto finito de grupos cíclicos de arbitrario (finito o no) órdenes.

</n>

Answer 3

Tenga en cuenta que el núcleo de su homomorfismo de grupo $\varphi:\Bbb Z^m\twoheadrightarrow(\Bbb Z/2\Bbb Z)^n$ contiene $(2\Bbb Z)^m$, por lo tanto, factores de #% de %#% a través de la correlación canónica $\varphi$, dando lugar a un grupo de sobreyectiva homomoprhism $\pi:\Bbb Z^m\twoheadrightarrow(\Bbb Z/2\Bbb Z)^m$. Esto es, de hecho, un $\varphi':(\Bbb Z/2\Bbb Z)^m\twoheadrightarrow(\Bbb Z/2\Bbb Z)^n$-cartografía lineal, por lo tanto, comparando grado como espacios del vector encima $\Bbb Z/2\Bbb Z$, obtenemos $\Bbb Z/2\Bbb Z$, por lo tanto, $m\geq n$.