Tengo $$f(x) = x^{2n}+x^n+1 \in \mathbb{F}_2[x].$$ When is this polynomial irreducible? It is obvious that for even $$ %n este polinomio es reducible. Pero no tengo ninguna idea de impar $n$.
Respuesta
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Per Hornshøj-Schierbeck
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Antes de ahondar en $\Bbb{F}_2[x]$ vamos a considerar la irreductibilidad de $f(x)$$\Bbb{Z}[x]$. Porque $$ f(x)(x^n-1)=x^{3n}-1, $$ los ceros de $f$ son raíces de la unidad de la orden dividiendo $3n$.Esto nos hace considerar la cyclotomic polinomio $\Phi_{3n}(x)\in \Bbb{Z}[x]$. Su grado es dada por Euler (totient) la función $\phi(3n)$. Si $n$ es divisible por un extraño prime $p$ otros de $3$, luego $$ \phi(3n)\le \frac{3-1}3\cdot\frac{p-1}p\cdot3n<2n. $$ Esto significa que para $f(x)$ a ser irreductible en $\Bbb{Z}[x]$ es necesario que $n$ es un poder de tres. La costumbre de negocios con cyclotomic polinomios muestra que esta condición es también suficiente para la irreductibilidad en $\Bbb{Z}[x]$.
Menos trivial hecho es que cuando $n=3^k$ el polinomio $f(x)$ permanece irreductible en $\Bbb{F}_2[x]$. Esto es una consecuencia del hecho de que $2$ es una raíz primitiva módulo $3^{k+1}$. No quiero repetir el argumento aquí. En lugar de eso, me refiero a que una primera respuesta de la mina. Consulte el apéndice para los detalles escabrosos.
