Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo sin nilpotentes (no nulos). Si $f(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ es un divisor cero en $R[x]$ ¿Cómo puedo mostrar que hay un elemento $b \ne 0$ en $R$ tal que $ba_0=ba_1=\cdots=ba_n=0$ ?
Es cierto sobre cualquier anillo conmutativo, y a veces se llama teorema de McCoy. A continuación se muestra un esquema de la prueba de mi post de sci.math del 4 de mayo de 2004:
Teorema $\ $ Dejemos que $ \,F \in R[X]$ sea un polinomio sobre un anillo conmutativo $ \,R.\,$ Si $ \,F\,$ es un divisor de cero, entonces $ \,rF = 0\,$ para un número de veces que no es cero $ \,r \in R.$
Prueba $\ $ Supongamos que no. Elija $ \,G \ne 0\,$ de grado mínimo con $ \,FG = 0.\,$
Escriba $ \,F =\, a +\,\cdots\,+ f\ X^k +\,\cdots\,+ c\ X^m\ $
y $ \ \ \ \ G = b +\,\cdots\,+ g\ X^n,\,$ donde $ \,g \ne 0,\,$ y $ \,f\,$ es el coef más alto de $ \,F\,$ con $ \,fG \ne 0\,$ (nótese que tal $ \,f\,$ existe si no $ \,Fg = 0\,$ contra suposición).
Entonces $ \,FG = (a +\,\cdots\,+ f\ X^k)\ (b +\,\cdots\,+ g\ X^n) = 0.$
Así, $\ \,fg = 0\ $ así que $\: \deg(fG) < n\,$ y $ \, FfG = 0,\,$ contra la minimidad de $ \,G.\ \ $ QED
Alternativamente, se deduce por el lema de Gauss (forma Dedekind-Mertens) o resultados relacionados.
¿Por qué esto implica que F(fG)=0? Entiendo que FG = 0 pero ¿por qué esto dice algo sobre el efecto de F en el polinomio fG con deg(fG) < deg(G)?
$F(fG)=0$ se desprende de $FG=0$ . El debate anterior era necesario para garantizar que $\deg(fG)<\deg(G)$ .
Supongamos que $gf=0$ para algunos $g\in R[X]$ y que $c$ sea el coeficiente principal de $g$ . Entonces $ca_n=0$ . Por lo tanto, $cf$ es $0$ (en cuyo caso $c$ es su $b$ ), o $cf$ tiene un grado inferior a $n$ con $g(cf)=0$ . Proceder por inducción en $n$ . Al final se encuentra que algún poder de $c$ mata a cada $a_i$ y $c$ no era nilpotente ...
Aparentemente, el argumento de Bill Dubuque no es realmente sobre anillos polinómicos. Aquí hay una generalización.
Dejemos que $A$ sea un conmutador $\mathbb{N}$ -Anillo clasificado. Sea $f \in A$ sea un divisor cero. Entonces hay algún $0 \neq a \in A$ homogénea tal que $a f = 0$ .
Prueba. Elige algunos $0 \neq g \in A$ de grado total mínimo con $fg=0$ . Sea $f=f_0+f_1+\cdots$ y $g=g_0+g_1+\cdots+g_d$ sean las descomposiciones homogéneas con $g_d \neq 0$ . Si $f g_d = 0$ hemos terminado. De lo contrario, tenemos $f_i g_d \neq 0$ para algunos $i$ y por lo tanto $f_i g \neq 0$ . Elija $i$ máximo con $f_i g \neq 0$ . Entonces $0=fg=(f_0+\cdots+f_i)g=(f_0+\cdots+f_i)(g_0+\cdots+g_d)$ implica $f_i g_d = 0$ . Entonces $f_i g$ tiene menor grado que $g$ pero sigue satisfaciendo $f(f_i g)=0$ y $f_i g \neq 0$ una contradicción. $\square$
Esto puede aplicarse a $A=R[x]$ con la clasificación habitual. Por lo tanto, cualquier divisor cero en $R[x]$ es eliminado por algún elemento de la forma $r x^n$ ( $r \in R \setminus \{0\}$ ) y luego también por $r$ .
@Jay La prueba anterior se puede arreglar fácilmente si se considera $g$ como el que tiene el mínimo número de componentes homogéneas no nulas entre los polinomios con la propiedad $fg=0$ . (Como se puede observar, el contestador quería imitar la prueba dada para los polinomios en la respuesta aceptada, y esto es una tarea fácil).
Este es el caso de Anillos Armendariz en el que estudié brevemente el verano pasado. Es un tema interesante.
Un anillo $R$ se llama Armendariz si siempre que $f(x)=\sum_{i=0}^{m}a_ix^i, g(x)=\sum_{j=0}^{n}b_jx^j \in R[x]$ tal que $f(x)g(x)=0$ entonces $a_ib_j=0\ \forall\ i,j$ .
En su artículo "A NOTE ON EXTENSIONS OF BAER AND P. -RINGS" en 1973, Armendariz demostró que Los anillos reducidos son Armendariz que es una buena generalización de su resultado.
Prueba- Dejemos que $fg=0$ y asumiendo $m=n$ es suficiente. Entonces tenemos $$a_0b_0=0,\\ a_1b_0+a_0b_1=0 ,\\ \vdots \\a_nb_0+\dots +a_0b_n=0$$
Desde $R$ se reduce, $a_0b_0=0\implies (b_0a_0)^2=b_0(a_0b_0)a_0=0 \implies b_0a_0=0$ .
Ahora queda multiplicar $a_1b_0+b_1a_0=0$ por $b_0$ obtenemos $b_0a_1b_0=-b_0a_0b_1=0 \implies (a_1b_0)^2=a_1(b_0a_1b_0)=0 \implies a_1b_0=0$ .
Del mismo modo, obtenemos $a_ib_0=0\ \forall\ 1\leq i \leq n$ .
Ahora las ecuaciones originales se reducen a
$$a_0b_1=0\\ a_1b_1+a_0b_2=0\\ \vdots\\ a_{n-1}b_1+\dots +a_0b_n=0$$ y luego por el mismo proceso primero obtendremos que $a_0b_1=0$ y luego multiplicar a la izquierda de $a_1b_1+a_0b_2=0$ por $b_1$ obtenemos $a_1b_1=0$ y así sucesivamente, $a_ib_1=0\ \forall\ 1\le i \le n$ .
Del mismo modo, repitiéndolo obtenemos $a_ib_j=0\ \forall\ 1 \leq i,j \leq n$ . $\hspace{5.5cm}\blacksquare$
Otros ejemplos de anillos de Armendariz son:
Sea f un polinomio en el anillo conmutativo R. Supongamos que fg es 0 cuando g es distinto de cero. Adjuntando los coeficientes de f y g al subarreglo primo podemos suponer que el anillo es noetheriano a través del Teorema de la Base de Hilbert. Tomemos una descomposición primaria reducida de O en R. Extendiendo cada ideal primario a R[X] se obtiene una descomposición primaria para 0 en el anillo polinómico. Así que f siendo un zerodivisor está contenido en algún P[X] donde P es un primo asociado de 0 en R. Pero P es matado por algún c no nulo de R, c así que r mata a f.
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