Si cualquier vértice del triángulo coincide con cualquier vértice de la plaza, entonces
muy rápidamente, nos encontramos con que el más pequeño tal que encierra triángulo debe ser de un triángulo rectángulo
con dos vértices del cuadrado en cada pata de la derecha, triángulo
y un vértice del cuadrado sobre la hipotenusa.
Considere el caso donde no hay vértice del triángulo coincide con cualquier vértice
del triángulo.
Claramente, debe haber al menos un vértice del cuadrado en cada lado del triángulo,
porque si hay un lado con ningún vértice del cuadrado, entonces podemos dibujar una línea
paralelo a ese lado por el vértice más cercano a ese lado, y esta línea
"cortar" parte del triángulo original, lo que resulta en un pequeño triángulo.
Deje que el triángulo que encierra ser $\triangle ABC.$
Supongamos que sólo tres de los vértices de la plaza
la mentira en los lados de $\triangle ABC,$
y deje $D$ ser el vértice que no se encuentran en un lado de la $\triangle ABC.$
El siguiente diagrama es una representación general de este caso:
![general triangle touching only three vertices of the square]()
Ahora considere la alternativa que encierra triángulos
$\triangle AB'C'$ $\triangle A''B''C,$
cada uno de los cuales tiene un lado colineal con $AC$ y otro lado colineal con
un lado de la plaza.
Hemos triángulos semejantes $\triangle A''GF$ $\triangle FEC',$
y, por supuesto, $|EF| = |FG|,$
por lo $|A''G|\cdot|EC'| = |EF|^2.$
Por lo tanto, $|A''G|$ $|EC'|$ no puede ser mayor que la de $|EF|.$
Por lo tanto, escoger un lado que no es mayor que $|EF|$;
sin pérdida de generalidad, supongamos que lado es $|EC'|,$
es decir, $|EC'| < |B'E|.$
Desde $\angle BED \cong \angle CEC'$ $|EC| < |EB|,$
$\triangle CEC'$ cabe completamente dentro de $\triangle BEB'.$
Es decir, cuando reemplazamos $\triangle ABC$ $\triangle AB'C',$
añadimos una región más pequeña de lo que nos quita, y por lo tanto
$|\triangle AB'C'| < |\triangle ABC|.$
Llegamos a la conclusión de que todos los vértices de la plaza, debe recaer en los lados de los más pequeños
acompañando triángulo,
lo que implica que al menos dos de ellos deben encontrarse en el mismo lado de ese triángulo.
Ahora la etiqueta de cualquier triángulo que encierra $\triangle ABC$
para que dos de los vértices de
la plaza de la mentira en $BC.$
Por otra parte, supongamos que la altura del triángulo de $A$ es mayor que
dos veces el lado de la plaza.
Esta condición se ilustra en el siguiente diagrama:
![one side of the square lies on BC, altitude from A is > 2 times side of square]()
Ahora considere el triángulo $\triangle A'B'C$
donde $A'$ se encuentra en $AC$ y la distancia
de $A'$ $BC$es exactamente dos veces el lado de la plaza.
A continuación, $\triangle BDB' \cong \triangle EDA',$
así, en sustitución de $\triangle ABC$ $\triangle A'B'C$
el área que quitar ($\triangle ADA'$) es mayor que el área que queremos añadir.
Llegamos a la conclusión de que si $\triangle ABC$ es el más pequeño triángulo que encierra y
los dos vértices de la plaza de la mentira en $BC,$, la altitud de $A$ no es mayor
de dos veces el lado de la plaza.
Pero supongamos que la altura de $A$ es menos de dos veces el lado de la plaza,
como se ilustra en el siguiente diagrama:
![enter image description here]()
Considere el triángulo $\triangle A'B'C$
donde $A'C$ es colineal con $AC$ y la distancia
de $A'$ $BC$es exactamente dos veces el lado de la plaza.
A continuación, $\triangle BDB' \cong \triangle EDA',$
y así, si reemplazamos $\triangle ABC$ $\triangle A'B'C$
el área añadimos ($\triangle ADA'$) es menor que el área que quitar.
Llegamos a la conclusión de que si $\triangle ABC$ es el más pequeño triángulo que encierra y
los dos vértices de la plaza de la mentira en $BC,$, la altitud de $A$ no es menos
de dos veces el lado de la plaza.
Pero desde ya sabemos que la altitud de $A$ no es mayor
de dos veces el lado de la plaza, debemos concluir que la
la altitud de $A$ es exactamente dos veces el lado de la plaza.
Esta condición se ilustra en el siguiente diagrama:
![enter image description here]()
Consideramos otro triángulo, $\triangle AB'C',$
donde $B'C'$ es colineal con $BC$
y de nuevo la altitud de $A'$ es exactamente dos veces el lado de la plaza.
Para cualquiera de estos triángulos, el lado de la $BC$ o $B'C'$ es paralela a la
lado opuesto de la plaza y es exactamente el doble de la medida de $A$ o $A'$;
por lo tanto, $|BC| = |B'C'| = 2s$ donde $s$ es el lado de la plaza.
Cada triángulo tiene una altura de $2s$ con relación a esta base,
de manera que el área de cualquier triángulo es $2s^2.$
Por tanto, no es único más pequeño triángulo que encierra.
Cualquier adjuntando triángulo tal que dos vértices de la plaza de la mentira en un lado
del triángulo, los otros dos vértices de la mentira en los otros dos lados,
y la altitud desde el otro vértice del triángulo es el doble de la
lado de la plaza (o, equivalentemente, la primera mencionada lado es el doble
largo como un lado de la plaza) va a tener la superficie mínima.
El triángulo podría ser un isoceles derecha, triángulo, o un triangulo isoceles
en lo que exactamente un lado es el doble del lado de la plaza (y es colineal
con un lado de la plaza), o a cualquiera de un gran número de triángulos escalenos
que se ajustan a la última condición; pero en ningún caso se puede hacer un triángulo que encierra
menor de un triángulo rectángulo, cuyo derecho de ángulo de vértice coincide con un vértice
de la plaza.
El área mínima de un adjuntando triángulo es dos veces el área de la plaza.
