Prueba del lema de homotopía de Milnor ' s Book

Question

En la Topología de la Diferenciable punto de vista por Milnor la "Homotopy Lema" se expresa de la siguiente manera

Homotopy Lema: Vamos a $f, g : M \to N$ ser fácilmente homotópica mapas entre los colectores de la misma dimensión, donde la $M$ es compacto y sin límite. Si $y \in N$ es un valor regular para ambos $f$$g$, luego $$\#f^{-1}(y) = \#g^{-1}(y) \ \ \ \text{(mod $2$)}$$

Ahora al probar este Milnor vamos a $F : M \times [0, 1] \to N$ ser un suave homotopy entre el$f$$g$. Él entonces se supone que $y \in N$ es un valor regular de $F$. No voy a escribir más detalles aquí , pero él procede a mostrar que $\# f^{-1}(y) = \# g^{-1}(y) \ \ (\text{mod} \ 2)$.

En la siguiente parte de la prueba que él supone que $y \in N$ es no regular de un valor de $F$ y muestra una vez más que $\# f^{-1}(y) = \# g^{-1}(y) \ \ (\text{mod} \ 2)$ (utilizando el resultado de la primera parte de la prueba).

Ahora estoy asumiendo que Milnor debe haber demostrado algo más fuerte, que para cualquier punto $y \in N$, $\#f^{-1}(y) = \# g^{-1}(y) \ \ (\text{mod} \ 2)$, porque cualquier punto de $y \in N$ es un valor regular de $F$ o no es un valor regular de $F$, y en ambos casos podrían ser cubiertos por la prueba anterior.

Pero luego que me lleva a la pregunta siguiente. Es $y \in N$ regular en el valor $f$ $g$ si y sólo si $y \in N$ es un valor regular de $F$? No estoy seguro exactamente de cómo probar esto en el momento, o para proporcionar un contraejemplo, pero si la dirección inversa se mantiene, entonces la Homotopy Lema podría ser probado. No la inversa de la dirección pulsada, hacer ambas direcciones espera, o no?

Finalmente, es mi suposición de que Milnor resultó algo más fuerte correcta? Si es así ¿por qué no se Milnor declaró este resultado más fuerte en el libro, en lugar de la versión más débil. Si mi suposición no es correcta, entonces ¿cómo ha Milnor en realidad resultó ser el Homotopy Lema sin asumir en realidad $y \in N$ es un valor regular para ambos $f$$g$?

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Edit : en Realidad me di cuenta de que en la segunda parte de la prueba de $y$ se supone que no es un valor regular de $F$, pero es un valor regular de $f$, de lo contrario $\# f^{-1}(y)$ aún no se define (en la prueba en la página 22). Por lo que la dirección de avance de mi negrita pregunta de arriba no parecen sostener.

También hay supuestos que Milnor está suponiendo implícitamente que no soy consciente?

Answer 1

Yo era incorrecta. En la prueba de Milnor asume que la $y \in N$ es un valor regular para ambos $f$$g$, por error, no he leído la palabra "también" en la segunda línea de la prueba de lo que yo supuse que él estaba tratando de probar algo más fuerte utilizando un teorema que no había probado antes (y se espera que el lector complete los detalles).

Lo Milnor hizo fue la siguiente. Dejó $y \in N$ ser regulares valores de $f$$g$. A continuación, además de que primero vamos a $y$ regular valor de $F$.

La razón por la que hice esto es porque es más fácil demostrar la Homotopy Lema en el lugar donde consideramos $y$ a ser un habitual en el valor $f$, e $g$ $y$ regular valor de $F$ o no regular de un valor de $F$.

Así que en primer lugar la prueba de que $\# f^{-1}(y) = \# g^{-1}(y) \ \ (\text{mod } 2)$, en el caso de que $y$ es un valor regular de $F$, luego utiliza ese resultado para demostrar $\# f^{-1}(y) = \# g^{-1}(y) \ \ (\text{mod } 2)$, en el caso de que $y$ no es un valor regular de $F$.

Deje $\Phi = \{y \in N \ | \ \text{y is a regular value for both $f$ and $g$}\}$, $\Gamma = \{y \in N \ | \ \text{y is a regular value for both $f$ and $g$ and $F$}\}$ y deje $\Psi = \{ y \in N \ | \ \text{y is a regular value for both $f$ and $g$ and not $F$}\}$, entonces claramente $\Phi = \Gamma \cup \Psi$, por lo que esta prueba cubre todas las posibles regular los valores de ambos $f$$g$.

Así, la prueba tiene sentido.

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A la respuesta de la pregunta en negrita, la dirección de retroceso no parece contener.