Prueba corta de mensurabilidad del conjunto donde se diferencian dos funciones medibles

Question

Deje $f,g$ ser medibles funciones de $\Omega$ a $[0,\infty]$. Quiero mostrar que el conjunto donde las dos funciones diferentes es medible. es decir, el conjunto $K = \{x\in \Omega: f(x) \neq g(x) \}$ es medible. Desde $f,g$ puede tomar en $+\infty$, mi enfoque es considerar los siguientes casos:

Para $x \in \Omega$ tal que $f(x) \neq g(x)$,

1. $f(x) \in \mathbb{R}$, $g(x) \in \mathbb{R}$

2. $f(x) \in \mathbb{R}$, $g(x) = \infty$

3. $f(x) = \infty $, $g(x) \in \mathbb{R}$

Ya que los casos 2 y 3 son simétricas, me esencialmente necesidad de considerar los casos 1 y 2 (sin pérdida de generalidad). Pero hay una corta prueba de la reclamación que se encarga de todos los tres casos, todos a la vez?

Answer 1

Una idea es la siguiente: Demostrar que

$$ \Phi : [0,\infty] \[0,1], x \mapsto \frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x} $$ es estrictamente creciente y (así) se puede medir con respecto a la habitual $\sigma$-álgebras.

Ahora $\Phi \circ f, \Phi \circ g$ ambos son medibles con

$$ \{x \a mediados de f(x) \neq g(x)\} = \{x \mid \Phi \circ f (x) \neq \Phi \circ g(x)\} = \{x \mid (\Phi \circ f - \Phi \circ g)(x) \neq 0\}, $$ que es medible.

Tenga en cuenta que la diferencia tiene sentido (y medible) desde $\Phi \circ f, \Phi \circ g$ sólo tomar finito de valores.