Distribución de la norma 1 de conjunto unitario Gaussian

Question

Supongamos que uniformemente de muestra matrices X de conjunto unitario Gaussian (GUE) con varianza \sigma^2. Considerar la norma d Ky-ventilador, es decir, la suma de los valores singulares, de X. Llamemos a este Z = || X || _1. ¿Cuál es la distribución de Z en función de la dimensión d y la varianza \sigma^2? Realmente, lo único que quiero son estimaciones de la media y una cola bien atado, así que tal vez también el segundo momento.

Answer 1

Vamos a normalizar la varianza de las entradas a $1$. A continuación, GUE asintóticamente obedece a la forma semicircular de la ley, es decir, los valores propios (que la igualdad de los valores singulares, como GUE es Hermitian), después de dividir por $\sqrt{n}$, se distribuye de acuerdo a la ley $\frac{1}{2 \pi} (4 - x^2)^{1/2}_+ dx$. Así que el Schatten $1$-norma (Ky Fan de la norma) debe asintóticamente igual a $\sqrt{n}$ veces n veces la integral

\begin{equation*} \int \frac{|x|}{2 \pi} (4 - x^2)^{1/2}_+ dx, \end{ecuación*}

que Wolfram alpha me dice es $8/3 \pi$. Así que la respuesta es $n^{3/2} ( 8 / 3 \pi + o(1) )$ con una probabilidad de $1-o(1)$. El uso explícito de la convergencia de la tasa de GUE, probablemente reemplace el $o(1)$ $O(n^{-c})$ para algunos explícita constante $c>0$.

Obtención de la varianza puede ser dentro de la tecnología actual - es una parte integral del dos-punto de correlaciones de GUE, que son conocidos - pero algo tedioso. Momentos de orden superior debe también (en principio) ser computables. Mi conjetura es que la limitación de la distribución será asintóticamente gaussiano, pero yo podría estar equivocado acerca de esto (el teorema central del límite no se aplica directamente porque los autovalores están correlacionadas entre otros).

Answer 2

Resultados más precisos a lo largo de las líneas de respuestas de Yemon Choi están en dos documentos por Szarek: "Espacios con distancia grande a $l^\infty$ y matrices al azar" y "Condición número de matrices al azar".

Answer 3

Yo no soy en absoluto experto en la matriz de cosas, pero hasta que alguien más calificado aparece, ¿estaría usted interesado en algunas de las estimaciones brutas en Z en el $n \to \infty$ asintótica? O lo que realmente quieres algo más nítida en cada dimensión?

EDICIÓN/ACTUALIZACIÓN: OK, aquí está mi mano-ondulado argumento, ha sido un tiempo desde que no hago la teoría de la probabilidad, por lo que caveat lector y todo eso.

Voy a usar el GOE simplemente porque es el que conozco mejor y me salve de preocuparse acerca de la perdida de factores de escala.

La idea es que para cualquier $n \times n$ matrices $S$ $T$ siempre tenemos

$\Vert S\Vert_1 \Vert T \Vert_{\rm op} \geq |{\rm tr}(ST)|$

donde el subíndice 1 denota Ky-Ventilador/Schatten 1-norma y el subíndice "op" denota habitual operador de la norma. En particular, si $S=T$ es auto-adjunto a continuación

$\Vert S\Vert_1 \geq || S ||\_2^2\\, /\\, || S ||_{\rm op}$

Ahora, cuando S es GOE(n,$\sigma^2$), a continuación, $n^{-2} \Vert S\Vert_2^2$ está fuertemente concentrada alrededor de su media (que es $\sigma^2$) -- es el promedio de un conjunto de variables aleatorias independientes por lo que podríamos usar estimaciones de la variación y de Chebyshev, o probablemente algunas más fuerte cola exponencial de las estimaciones.

También, cuando S es GOE(n,$\sigma^2$), a continuación, $n^{-1/2} \Vert S\Vert_{\rm op}$ está fuertemente concentrada redondo $2\sigma$ - uno puede llegar cola exponencial de las estimaciones, al menos para una cota superior de a $(2+\epsilon)\sigma$ positivos $\epsilon$. Creo que este es el folclore o un caso especial de Maquinaria pesada, pero como me dijo que tengo una más elementales de la prueba, aunque sea uno que probablemente no sea original.

Así que, ahí va a haber una probabilidad alta (por $n$ grandes) que || S ||₂² es mayor que $(1-\epsilon)\sigma^2n^2$, y va a haber una alta probabilidad (por $n$ grandes) que se $\Vert S\Vert_{\rm op}$ es de menos de $(2+\epsilon)\sigma n^{1/2}$. En la intersección de estos dos eventos, usted va a encontrar que

$\Vert S\Vert_1 \geq (1-\epsilon)n^2\sigma^2 / (2+\epsilon)\sigma n^{1/2}$

que da el límite inferior estaba reclamando.

Answer 4

Algunos brumoso pensamientos: una manera de tratar de conseguir una intuitiva de manejar en este tipo de global pregunta, es pensar en el no-todo-nombre correctamente el teorema de Wigner en el objetivo de convergencia para el semicírculo de distribución. Es decir, sabemos que la escala de la varianza por 1/n, a continuación, uno obtiene la convergencia de la empíricos espectral de la medida (en varios sentidos) a un continuo densidad apoyado en [-2,2]. Por eso va a ser lo suficientemente "grandes" de autovalores para la unidad de los valores de la Schatten normas, en particular, la suma de sus valores absolutos se debe ingenuamente ser O(n). Esto fue cuando pasamos las entradas por 1/\sqrt{n}, por lo que para obtener un límite de 1-norma parece que necesitamos un n^{-3/2} de escala.