Determinación de la convergencia de una serie

Question

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\sqrt{n}(\sqrt{n^4+1}-n^2)$

Ok, estaba realmente dudando en publicar esto porque es una pregunta tan elemental, y realmente debería ser capaz de hacer esto. Sin embargo, he estado mirando esto durante más de media hora y he intentado muchos métodos, pero no soy capaz de conseguir la serie en una forma agradable donde puedo tomar el límite. ¿Alguna idea sobre cómo abordar este problema?

Answer 1

Sólo hay que tener en cuenta que $$\sqrt{n^4 + 1} - n^2 = \frac{( \sqrt{n^4 + 1} - n^2 )( \sqrt{n^4 + 1} + n^2 )}{\sqrt{n^4 + 1} + n^2} = \frac{n^4 + 1 - n^4}{\sqrt{n^4 + 1} + n^2} = \frac{1}{\sqrt{n^4 + 1} + n^2}$$ entonces puede utilizar la prueba de comparación.