Si hay un surjection $A\to B $ y otro $B\to A$ y $A $ y $B$ están en biyección

Question

Estoy tratando de probar esto (se ve fiel a mí):

Que $A,B $ ser dos conjuntos. Si hay un surjection $A\to B $ y % surjection $B\to A$y $A $ y $B $ están en biyección.

Demostró que es equivalente a lo siguiente:

Si hay un % de inyección $A\to B $y una inyección $B\to A$ y $A $ y $B $ están en biyección.

Pero estoy atrapado, no veo cómo probar cualquiera.

Answer 1

La afirmación de que si hay inyecciones $A \leftrightarrows B$ , entonces hay un bijection $A \to B$ es el Cantor–Schröder–Bernstein y tiene un razonablemente que participan de la prueba suficientemente involucrada que dudo que había razonablemente esperar para probarlo usted mismo.

Cada surjection $f : A \to B$ tiene un derecho inverso $r : B \to A$, es decir, una función tal que $f(r(b))=b$ todos los $b \in B$, y el derecho a la inversa es inyectiva. Usted tiene (en los comentarios a tu pregunta) correctamente construido como un derecho y al revés identificado que es inyectiva, y por lo que el resultado se sigue de la de Cantor–Schröder–Bernstein teorema de... que es, si usted está autorizado a asumir.