Cómo demostrar que cualquier número natural $n \geq 34$ puede escribirse como la suma de números triangulares distintos?

Question

Sloane's A053614 implica que $2, 5, 8, 12, 23$ y $33$ son los únicos números naturales $n \geq 1$ que no puede escribirse como la suma de números triangulares distintos (es decir, números de la forma $\binom{k}{2}$ , comenzando $1,3,6,10,15,\ldots$ ).

Pregunta : Cómo demostrar que cualquier número natural $n \geq 34$ puede escribirse como la suma de números triangulares distintos?

Tenemos

• $34=\binom{8}{2}+\binom{4}{2}$ ,
• $35=\binom{8}{2}+\binom{4}{2}+\binom{2}{2}$ ,
• $36=\binom{9}{2}$ ,
• $37=\binom{9}{2}+\binom{2}{2}$ ,
• $38=\binom{8}{2}+\binom{5}{2}$ ,

y así sucesivamente.

Sloane's A061208 enlaces a un pregunta de la olimpiada de matemáticas (página 207) que pide que se pruebe esto para $n \leq 1997$ pero la prueba dada no está en inglés, así que ni la entiendo, ni puedo estar seguro de que funcione para todos $n$ .

Answer 1

Esto se deduce de un teorema de Richert:

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Teorema Supongamos que $k \ge 2, N \ge 0, M \ge0$ satisfacer

• Siempre que $N<x \le N + M$ , $x$ es una suma de elementos distintos de algunos de los primeros $k$ elementos de un conjunto $S = \{s_1, s_2, \ldots\}$ , donde $s_1 < s_2 < \cdots$ .

• $M \ge s_{k+1}$

• $2 s_i \ge s_{i+1}$

Entonces todo número entero mayor que $N$ es una suma de elementos distintos de $S$ .

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Toma $k=8, N=33, M=45$ para obtener el resultado deseado.

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Demostración del teorema Para demostrar el teorema, dejemos que $I_p = \{N+1, N+2, \ldots, N + s_{p+1}\}$ . Entonces, por supuesto, todos los elementos de $I_k$ son la suma de los primeros $k$ elementos $s_1, \ldots, s_k$ .

Pero ahora observe que si esto es cierto para algún general $p$ entonces $$I_p \cup \{m + s_{p+1} : m \in I_p\}$$ contiene $I_{p+1}$ como consecuencia de $s_{p+2} \le 2 s_{p+1}$ . Por lo tanto, todos los elementos de $I_{p+1}$ son sumas de los $s_1, \ldots, s_{p+1}$ .

Por lo tanto, el resultado se deduce inductivamente al considerar $\bigcup_{p\ge k} I_k$ que contiene todos los enteros mayores que $N$ y sólo contiene elementos que son sumas distintas de $s_i$ .