Crecimiento de la relación basada en la suma de la identidad binomial cuadrada

Question

Es una identidad conocida que$$\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\cdots+\binom{n}{n}^2=\binom{2n}{n}.$ $

Por simetría de los coeficientes binomiales, esto significa la proporción$$\dfrac{\binom{2n}{n}}{\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\cdots+\binom{n}{n/2}^2}$$ is approximately $ 2 $.

¿Qué tal si tomamos solo la primera mitad del término en el denominador? ¿Qué tan rápido es la proporción$$\dfrac{\binom{2n}{n}}{\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\cdots+\binom{n}{n/4}^2}$$ grow, as $ n \ rightarrow \ infty $?

Answer 1

En la suma $${\binom{n}{n/4}^2+\binom{n}{n/4-1}^2+\cdots+\binom{n}{0}^2}$ $ el cociente de un término a otro es inicialmente aproximadamente $9$ y aumenta después de eso. Sin embargo, se mantiene entre $9$ y $9 + \varepsilon$ por un tiempo arbitrariamente largo como $n$ consigue más grande.

Así la expresión es equivalente a $\binom{n}{n/4}^2(1 + 1/9 + 1/81 + \dots) = (9/8)\binom{n}{n/4}^2$ % grande $n$.

Por la fórmula de Stirling, la relación de en su problema es equivalente a $\frac{1}{3}\sqrt{\pi n} \left(\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)^n$.