Explicación sencilla del efecto Zenón cuántico

Question

Soy estudiante y tuve que dar una charla en el seminario sobre Efecto Zenón cuántico y efecto Anti-Zeno a mis colegas (todos los oyentes han tenido un curso de física cuántica, pero no uno pesado con todo el rollo del sujetador y el ket).

Mi primera idea para dar una explicación sencilla del efecto Zenón fue ésta: Echemos un vistazo al decaimiento exponencial donde la posibilidad de que una partícula o estado sobreviva algún tiempo $t$ es $P_S=e^{-t/\tau}$ . Si lo mido después de tiempo $\tau$ Tengo oportunidad $P_S=1/e$ que seguirá intacta.

Si en cambio le permito hacer sus cosas solo por tiempo $\tau/N$ y luego medirlo, la probabilidad de supervivencia será $P_S=e^{-1/N}$ que se acerca $1$ como $N$ aumenta. Para conseguir el mismo tiempo total, tengo que repetir este procedimiento $N$ veces y la probabilidad total de supervivencia es... $P_S=(e^{-1/N})^N=1/e$ .

Así que obviamente no funciona, no consigo el efecto Zenón de esta manera.

Es interesante que después de dar la charla el profesor se levantara y dijera "Bueno, esto se puede entender fácilmente si nos fijamos en el decaimiento exponencial". Entonces empezó a dibujar exponente y otro exponente que se interrumpe repetidamente y vuelve al estado inicial después de pequeños intervalos. Más tarde estuvimos de acuerdo en que esto en realidad no funciona, pero la pregunta es - ¿por qué?

¿Por qué esta forma intuitivamente obvia no funciona y cuál sería la ley correcta a partir de la cual se podría ver el efecto Zenón? ¿Hay alguna manera elegante de explicar este efecto sin matemáticas pesadas y ángulos de vectores de estado?

PREGUNTA ADICIONAL (relacionada): ¿Es correcto utilizar el nombre "Efecto Zenón Cuántico" para el giro de polarización por series de polarizadores inclinados o lo que se hace en este ¿artículo?

Answer 1

En cuanto a mí, no hay matemáticas duras, y ésta es quizá la mejor explicación:

Sea $|\psi_{0}\rangle$ sea el estado del sistema con el Hamiltoniano $H$ en $t=0$ y $|\psi(t)\rangle$ -el estado en el momento $t$ . La evolución del estado puede describirse mediante un operador unitario de evolución $U(t)$ donde $\hbar=1$ ) $U(t)=e^{-iHt}$ :

$|\psi(t)\rangle=U(t)|\psi_{0}\rangle$

La probabilidad de que el sistema siga en el estado inicial después de 1 medición:

$P(t)=|\langle\psi_{0}|\psi(t)\rangle|^2=|\langle\psi_{0}|U(t)|\psi_{0}\rangle|^2$

Si va a utilizar $|\psi|^2=\psi\psi^{*}$ puedes ampliarlo como:

$P(t)=1-t^{2}(\langle\psi_{0}|H^{2}|\psi_{0}\rangle-\langle\psi_{0}|H|\psi_{0}\rangle^{2})+...$

Si $\Delta H=\sqrt{\langle\psi_{0}|H^{2}|\psi_{0}\rangle-\langle\psi_{0}|H|\psi_{0}\rangle^{2}}$ la probabilidad de "supervivencia" puede reescribirse:

$P(t)=1-t^{2}(\Delta H)^{2}+...$

Podemos definir Tiempo de Zenón $\tau_{Z}=1/\Delta H$ . Entonces:

$P(t)=1-\frac{t^{2}}{\tau_{Z}^{2}}+...$

Para tiempos cortos se puede escribir como:

$P(t)\approx(1-\frac{t^{2}}{\tau_{Z}^{2}})$

Era la probabilidad de supervivencia tras una medición.

En $N$ medidas:

$P^{N}(T)=(1-\frac{T^{2}}{N^{2}\tau_{Z}^{2}})^{N}$

Podemos ver que en el límite de las mediciones continuas, es decir, cuando $N\rightarrow \infty$ la probabilidad tiende a $1$ :

$$\lim_{N\to\infty}P^{N}(T)=1$$ .

Para su PREGUNTA ADICIONAL : Sí. Me parece que es correcto para la polarización: es un sistema de dos niveles. La polarización del fotón se describe mediante dos estados básicos, que corresponden a la polarización horizontal y vertical:

$|H\rangle= (1,0)^{T}$ ,

$|V\rangle=(0,1)^{T}$

Utilizaremos el efecto Faraday(ver http://en.wikipedia.org/wiki/Faraday_effect ):

"El efecto Faraday provoca una rotación del plano de polarización que es linealmente proporcional a la componente del campo magnético en la dirección de propagación"

Así que en este caso el operador de evolución tendrá la misma matriz que el operador de rotación( ver [http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation\_operator\_(vecto](http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_operator_(vecto) ..).

Sea el fotón de polarización horizontal $|H\rangle$ en el tiempo inicial. Luego, en cualquier momento posterior $t$ :

$|\psi(t)\rangle=U|H\rangle=(\cos(\beta), \sin(\beta))^{T}$ donde $\beta=\beta(t)$ . Entonces

$P_{H}(t)=|\langle H|\psi(t)\rangle|^{2}=\cos(\beta)^{2}$ .

En $N$ tendremos la probabilidad de que el fotón siga teniendo polarización horizontal:

$P_{H}(T)=\cos(\beta)^{2N}$ .

así que si utilizas la serie de Taylor, tendrás

$$\lim_{N\to\infty}P_{H}(T)=1$$ .

Answer 2

Consideremos un sistema que tiene las dos funciones propias: $\psi_a(x)$ y $\psi_b(x)$ . No es difícil construir un Hamiltoniano para el que la evolución temporal de la función de onda sería: $$ \psi(x,t) = \frac{1}{2} \left[ e^{\frac{2 \pi i t}{\tau}} \left( \psi_a(x) + \psi_b(x) \right) +e^{\frac{\pi i t}{\tau}} \left( \psi_a(x) - \psi_b(x) \right) \right]. $$ De esta forma la función de onda satisface $\psi(x,0)=\psi_a(x)$ y $\psi(x,\tau)=\psi_b(x)$ .
La probabilidad de medir el sistema en el estado $\psi_a(x)$ es: $$ P_a(t) = \left| \left\langle \psi_a(x) , \psi(x,t) \right\rangle\right|^2 = \frac{1}{2} \left[ 1 + \cos{ \left( \frac{\pi t}{\tau} \right) } \right]. $$ Obviamente $P_a(0) = 1$ y $P_a(\tau) = 0$ porque el sistema comienza en el estado $a$ y luego decae a partir de él (¡pero no exponencialmente!).

Ahora si medimos el sistema $N$ veces en $\tau/N$ intervalos de tiempo, utilizando el mismo cálculo de tu pregunta obtenemos: $$ P_a^N(\tau/N) = \frac{1}{2^N} \left[ 1 + \cos{ \left( \frac{\pi}{N} \right) } \right]^N \xrightarrow[N \rightarrow \infty]{} 1 $$ Por lo tanto, hemos evitado que el sistema decaiga con sólo medirlo repetidamente, y éste es el efecto Zenón cuántico.

Answer 3

La respuesta de Joe da un bonito y limpio ejemplo de dónde el efecto Zenón cuántico hace trabajo. Pero para responder a su muy buena pregunta de por qué no funciona para el decaimiento exponencial:

La probabilidad exponencialmente decreciente de estar en el estado inicial es un ejemplo de una distribución sin memoria que debería ver en cualquier curso básico de estadística. De hecho, la PDF exponencial es la único distribución continua sin memoria. Lo que esto significa en lenguaje cuántico es que la probabilidad por unidad de tiempo de pasar al otro estado es independiente del tiempo transcurrido. Por tanto, "poner a cero el reloj" haciendo observaciones intermitentes no cambia en nada la probabilidad de cambiar de estado.

Tu pregunta es genial porque ilustra una limitación del efecto Zenón cuántico. No se puede aplicar fácilmente a cualquier cosa con una distribución de probabilidad exponencial, que por ejemplo describe una partícula libre (el ejemplo clásico es un neutrón) que decae en otras.