Por el bien de esta prueba, las funciones trigonométricas $\cos$ $\sin$ se definen como las coordenadas de un punto en el círculo unitario, en lugar de cualquiera de las modernas definiciones analíticas.
Deje $\vec x(\theta)$ ser una función de dar la posición de un punto en el círculo unitario como una función del ángulo de $\theta$, es decir, $\vec x(\theta) = \left( \begin{array}{c} \cos(\theta)\\ \sin(\theta)\\ \end{array} \right)$. Decompose $\vec x'(\theta)$ into a colinear and an orthogonal component with $\vec x(\theta)$. If the colinear component is non-null, then on the assumption that $\vec x'(\theta)$ is continuous (could this be demonstrated?), it would be non-null over some small interval (right?), and then by taking the integral over that interval, we would have that $\vec x(\theta)$ either moves away from or towards the center of the origin, which is contrary to our hypotheses. Thus the colinear component is always null, and $\vec x'(\theta)$ es siempre tangente a la circunferencia.
Pero para cualquier vector $\left( \begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array} \right)$, a vector is orthogonal to it if and only if it is colinear with $\left( \begin{array}{c} -b\\ a\\ \end{array} \right)$. Therefore $\vec x'(\theta) = k\left( \begin{array}{c} -\sin(\theta)\\ \cos(\theta)\\ \end{array} \right)$ and we have $\cos' = -k\pecado$, $\pecado' = k\cos$, for some $k$.
Existen lagunas en esta prueba (en cursiva), pero hay maneras de llenado de los mismos en permaneciendo dentro de la definición geométrica de las funciones trigonométricas? Sería agradable ser capaz de demostrar las derivadas de las funciones trigonométricas puramente sobre la base de la obvia geométricas de la naturaleza de un movimiento circular.
