Cómo probar $ \lim\limits_ {x \to 0}xf(x)=0$ Supongo que sabemos $ \lim\limits_ {x \to 0}f(x)=1$ ?

Question

Cómo probar $ \lim\limits_ {x \to 0}xf(x)=0$ Supongo que sabemos $ \lim\limits_ {x \to 0}f(x)=1$ ?

Así que sabemos que $ \forall\epsilon\gt 0,\ \exists\delta\gt 0:0 \lt |x| \lt\delta\implies |f(x)-1| \lt\epsilon $

Queremos probar $ \forall\epsilon\gt 0,\ \exists\delta\gt 0:0 \lt |x| \lt\delta\implies |xf(x)| \lt\epsilon $

En mi opinión personal, es equivalente a probar $|xf(x)| \lt |f(x)-1|$ . (No estoy seguro)

¿Qué pasos debo tomar para hacer la prueba formal?

Answer 1

PISTA:

$$|xf(x)|=|x(f(x)-1)+x| \le |x||f(x)-1|+|x|$$

Answer 2

Todo lo que necesitamos es este teorema:

Si $f$ está limitado en algún vecindario de $0$ , entonces $ \lim_ {x \to 0} xf(x) = 0 $ .

Prueba:

Supongamos que $f(x) < M$ para $|x| < c$ .

Entonces.., para $|x| < c$ , $|xf(x)| < |xM| $ .

Para hacer $|xM| < \epsilon $ , sólo hacer $|x| < \dfrac { \epsilon }{M} $ .

(Fin de la prueba)

En tu caso, desde $ \lim_ {x \to 0} f(x) = 1 $ , hay un $ \delta $ de tal manera que $|x| < \delta \implies |f(x)-1| < 1 $ .

Tenga en cuenta que estoy usando $ \epsilon = 1$ para el límite habitual especificación, ya que sólo necesitamos conseguir un límite superior, cualquier límite superior, para $f$ en algún vecindario de $0$ .

Por lo tanto $|f(x)| < 2$ para $|x| < \delta $ .

Esto le da al barrio necesitado de $0$ en el que $f$ está limitado (por $2$ ), para que podamos aplicar el resultado inicial.

Answer 3

Si la secuencia $f(x)$ es convergente, entonces después de algunos $n$ también está limitada. Deje que $r$ ser un número real tal que $|f(x)|<2$ si $|x|<r$ . Ahora, dado que $ \epsilon >0$ note que $|xf(x)|<2|x|$ siempre que $|x|<r$ . Así que dejemos $ \delta = \frac {1}{2} \min (r, \epsilon /2)$ . Tenga en cuenta que $|x| < \delta \implies |x| < \epsilon /2 $ y $ |x|<r \implies xf(x)<2x< \epsilon $ . Esto debería servir.