Rouché ' s Teorema de máximo módulo el principio y

Question

Tengo un problema: Supongamos que es analítica en el cerrado disco $f$ $(\bar{\mathbb{D}} = {z \in \mathbb{C} : |z| \leq 1 })$. Asumir que $|f(z)| = 1$ $|z| = 1$, y que $f$ no es constante. Mostrar esa imagen de f contiene toda Abra la unidad disco $(\mathbb{D} = {z \in \mathbb{C} : |z| \le 1 })$.

Sé que debo usar teorema máximo módulo el principio y de Rouché pero no sé cómo aplicarlas.

Answer 1

$f$ tiene un cero en el interior de la unidad de disco, de lo contrario $\frac1{f(z)}$ sería analítica, contradiciendo el máximo módulo de principio (como f no es constante). deje que este cero se $\zeta$.

la función de $\phi(z) = \frac{\zeta-z}{1-\bar \zeta z}$ mapas de la unidad de disco a sí mismo, la preservación de la frontera y el intercambio de puntos de $0$ $\zeta$

escribir $$ g(z) = f \circ \phi (z) $$ a continuación, $g$ es analítica en y dentro de la unidad de disco, tiene un cero en el origen, y satisface: $$ |g(z)|=1 $$ en el límite.

por un complejo número de $s$$|s| \lt 1$, considerado como una constante () la función $$ |-s| \lt |g(z)| $$ en el límite, de modo que por el teorema de Rouché la función de $g(z)-s$ tiene el mismo número de ceros como $g(z)$, por lo que algunos de punto de $z'$ debe satisfacer $g(z')-s=0$. ahora establecer $z''=\phi(z')$ y hemos $$ f(z)=s $$

Answer 2

Creo que esto va a resolver sin el Teorema de Rouché.

PASO 1: vamos a demostrar, primero, que el $f(\Bbb{D}) \supset D(0,1/2)$. De hecho, para $w \in D(0,1/2)$, si suponemos que $f(z)-w$ no tiene raíces en $\Bbb{D}$, entonces la función de $G_w(z) = \frac{1}{f(z)-w}$ es analítica en $\Bbb{D}$ y bien definido. Por el Máximo Módulo Principio, debemos tener (como $|f| = 1$ sobre el límite)

$$ \frac{1}{|f(z)-w|} \le \frac{1}{1-|w|} < \frac{1}{|w|} $$

Y, desde el mismo Teorema, tenemos que, si la igualdad se alcanza en $\Bbb{D}$,$G_w$, y, en consecuencia,$f$, debe ser constante. Pero $f$ tiene al menos un cero, debido a que $\frac{1}{|f|} \le 1$, en el límite, lo que demuestra que, como $f$ es no constante, $f(z_0)=0$ algunos $z_0 \in \Bbb{D}$.

Teniendo esto $z_0$ anterior, vemos que debemos tener una contradicción, y, por tanto, el reclamo de la siguiente manera.

PASO 2: repetimos el proceso. Utilizando el mismo argumento, si $w \in D(0,1- 2^{-k-1})$, luego

$$ \frac{1}{|f(z)-w|} \le \frac{1}{1-|w|} < 2^{k+1} $$

Para$z$, en el límite, y, por hipótesis de inducción, como $f(\Bbb{D}) \supset D(0, 1 - 2^{-k})$, entonces no existe $z_0, w_0$ tal que $f(z_0) = w_0 $$w_0-w < 2^{-k-1} $. Repitiendo el argumento anterior, tenemos una contradicción.

Por lo tanto, podemos concluir que, $\forall \; k \in \mathbb{N}$,$f(\Bbb{D}) \supset D(0,1-2^{-k}) \Rightarrow f(\Bbb{D}) \supset \Bbb{D}$.

Answer 3

La analiticidad de $f$ $\bar{D}$ y condición de $|f(z)|=1$ $|z|=1$ implica que $f$ tiene más número finito de ceros en $\mathbb{D}$. Llame a ellos $z_k$, $k=1,\ldots,n$ y considerar el finito Blaschke producto con los ceros $$ B(z)=\prod_{k=1}^n\frac{z-z_k}{1-\bar z_k z}. $$ Sabemos que $|B(z)|=1$ sobre el círculo unidad, por lo que la función de $f/B$ no tiene ceros en el interior de $\mathbb{D}$ y el módulo de $1$ sobre el límite. La función de $u(z)=\text{Re}\,\ln\frac{f}{B}$ es armónica en $\mathbb{D}$ y cero en el límite, por lo tanto, idéntico a cero, lo que nos da que $f/B=c=\text{constant}$ $|c|=1$ y, por último, $f=cB(z)$, es decir, un automorphism de $\mathbb{D}$.

Editar (una alternativa a prueba): Supongamos que $w\in\mathbb{\bar D}$$w\not\in f(\mathbb{\bar D})$, entonces la función de $g(z)=f(z)-w$ nunca es cero en el interior del disco está cerrado, es decir,$|g(z)|\ge\epsilon$$\mathbb{\bar D}$. El uso de las Schwarz principio de reflejo para el círculo unidad, se obtiene la analítica continuación de $g$$\frac{1}{\bar f(1/\bar z)}-w$. Es simétricamente nunca cero fuera de la disco y tiene un número finito distinto de cero límite en el infinito. Por tanto, la función $1/g(z)$ es entera y acotada, por lo tanto, una constante debido al teorema de Liouville. Por lo $f$ es constante, lo cual es una contradicción.