Evaluar $I = ∫∫ 1/((x^2 + y^2)^{n/2}) dxdy$

Question

Evaluar la integral doble

$$I = \int\int_D \frac{1}{(x^2 + y^2)^{n/2}} dxdy .$$

donde $n$ es un número entero y $D$ es la región del plano limitada por dos círculos centrados en el origen y con radios $R_1, R_2$ , donde $0 < R_1 < R_2$ . Utilice un sistema de coordenadas adecuado para evaluar $I$ mostrando los detalles de la transformación de coordenadas y cómo la respuesta depende de n. También, para qué valores de $n$ la integral convergerá como $R_1 > 0$ ¿desde arriba?

¡Mi amigo de la universidad (que está un par de años por debajo de mí) me hizo esta pregunta y no tengo ni idea! No he visto una tan difícil en mucho tiempo. ¿Alguien tiene alguna idea? Me está molestando como un loco.

Answer 1

Utiliza coordenadas polares, y su integral se convierte en $$2\pi \int_{R_1}^{R_2} r^{1-n} d r.$$ Esto debería ser fácil de hacer.

Answer 2

Aquí hay un comienzo. Puedes utilizar coordenadas polares.

$$I = \int_{0}^{2\pi}\int_{R_1}^{R_2}\frac{rdrd\theta}{r^{n}} .$$

Añadido: Tenga en cuenta que, $n=2$ es un caso especial, ya que tendrá

$$I = 2\pi \int_{R_1}^{R_2}\frac{dr}{r}=2\pi ( \ln(R_1)-\ln(R_1)).$$

Ahora, encuentra el caso general $n\neq 2$ .