Una pregunta en una respuesta en Math desbordamiento sobre el paquete de la tangente

Question

Tengo una pregunta sobre la aceptada respuesta de este Desbordamiento de Matemáticas pregunta.

Deje $K$ ser un campo y $X$ $K$- esquema. Definir los morfismos de esquemas $T=\operatorname{Spec}\operatorname{Sym}(\Omega_{X/K}) \to X$ como la tangente paquete de $X$ como se sugiere en la respuesta. Como se dijo, no, esto no siempre es localmente trivial.

Es más, se dice que (de alguna manera) en la respuesta que $T(C)=\operatorname{Hom}_{\operatorname{Spec}(K)}(\operatorname{Spec}(C[\varepsilon]/(\varepsilon^2)),X)$ $K$- álgebra $C$ que no entiendo. ¿Cómo se puede insertar $C$ en un esquema de $T$? Debe ser esto $$T(Z)=\operatorname{Hom}_{\operatorname{Spec}(K)}(\operatorname{Spec}(C[\varepsilon]/(\varepsilon^2)),X)$$ for an open and affine subscheme $Z=\operatorname{Spec}(C)$ of $$ X lugar?

Es (theorefore?) es posible comprender el "todo el paquete", $T$ como sigue: Existe la noción de un hom-gavilla $$V\mapsto \mathcal{H}om_{\operatorname{Spec}(K)}(\operatorname{Spec}(K[\varepsilon]/(\varepsilon^2))|_V,X|_V)=:S(V)$$ que es un functor $S:(Schemes/K)^{op}\to Sets$.

Es este functor puede representarse por el esquema de $T$, es decir, hay un isomorfismo $$\operatorname{Hom}_{\operatorname{Spec}(K)}(-,T) \cong S(-)$$ de functors $(Schemes/K)^{op}\to Sets$?

Answer 1

Respecto a tu primera pregunta, la respuesta es no, no es necesario suponer que $Z = \operatorname{Spec}(C)$ es un abierto afín subscheme de $X.$ La notación $T(C)$ se refiere a la $C$valores de los puntos de $X,$ donde $C$ es, como se ha mencionado, una arbitraria $K$-álgebra. En otras palabras, $T(C) = \operatorname{Hom}_K(\operatorname{Spec}(C),T),$, por definición.

Su confusión probablemente surge porque la igualdad mencionado, $$T(C) = \operatorname{Hom}_K(\operatorname{Spec}(C[t]/t^2),X)$$ is actually a specification of what we want the $C$-valued points of $T$ to be, before actually knowing $T$ exists. That is, there should be, and is, an isomorphism of functors from $T(-)$ to $\operatorname{Hom}_K(\operatorname{Spec}(-\times_K K[t]/t^2),X).$ This is what it means for the functor on the right hand side to be representable (by the scheme $T$).

En realidad, tenemos que ser un poco más cuidadoso, ya que el dominio de nuestra functors aquí es, en realidad sólo afín esquemas. Completamente de probar la representabilidad, tenemos que mostrar que puede pegar los datos locales. Hay una buena descripción de la construcción de la tangente paquetes y jet esquemas (el orden superior de la versión) en algunos documentos de Mustata-Ein y Ishii en el arXiv.