Es posible que pueda salirse con la suya si el operador A es un operador lineal acotado definido en todo un espacio de Hilbert separable. Sin embargo, si el operador es no acotado, la historia cambia radicalmente porque hay operadores simples no acotados con dominios diferentes que tienen el mismo diagonal representaciones matriciales con respecto a una base, pero que son muy diferentes en naturaleza y espectro.
El ejemplo más sencillo es el operador de diferenciación Af = \frac{1}{i}\frac{df}{dt} definió su mayor dominio natural consistente en todos los f \in L^{2}[0,2\pi] que son iguales a.e. a funciones absolutamente continuas con derivadas en L^{2}[0,2\pi] . Se trata de un operador lineal cerrado densamente definido A : \mathcal{D}(A_{0})\subset L^{2}[0,2\pi]\rightarrow L^{2}[0,2\pi]. El adjunto A_{0}=A^{\star} de este operador es la restricción de A a las funciones que desaparecen en los puntos extremos de [0,2\pi] . La restricción periódica A_{p} de A a las funciones f \in \mathcal{D}(A) con f(0)=f(2\pi) es autoadjunto. En términos de inclusión en el gráfico, A_{0} \prec A_{p}=A_{p}^{\star} \prec A.
Por lo tanto, estos operadores son muy diferentes debido a pequeñas diferencias en sus dominios. Sin embargo, todos son iguales cuando se consideran en la base ortonormal de L^{2}[0,2\pi] obtenida mediante la normalización de las funciones ortogonales \{ \sin(nx/2)\}_{n=1}^{\infty} . Eso es porque \sin(nx/2) es el dominio de los tres operadores, y los operadores coinciden en el dominio común. Pero estos operadores tienen un carácter críticamente diferente, y obviamente esas diferencias no pueden recuperarse conociendo sólo las entradas de la matriz.
Esta ambigüedad se amplía en gran medida cuando se examinan los operadores diferenciales parciales.