Pruebas que se basan en una matriz infinita

Question

Si tengo un operador $A\in B(\mathcal{H})$ que se puede "identificar" con una matriz infinita con un número contable de entradas, ¿es de alguna manera poco riguroso hacer cálculos reales con la imagen que tenemos en mente de matrices finitas, es decir, es incorrecto hacer un cálculo como $$Ah = \begin{bmatrix} a & b & \cdots \\ c& d & \cdots \cdots\\ e& f & \ddots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \\ z\\ \vdots\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by +\cdots\\ cx+dy +\cdots \\ ex+fy+\cdots\\ \vdots\end{bmatrix}$$

Dicho de otro modo, ¿está bien definido y da siempre el mismo resultado que esperaríamos si lo hiciéramos de forma libre?

Answer 1

Aclaración sobre mi comentario anterior.

Por ejemplo, la multiplicación de matrices infinitas no es necesariamente asociativa.

Mira las 3 matrices infinitas:

$$\begin{cases} A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots \end{bmatrix} \\ B = \begin{bmatrix} +1 & -1 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & +1 & -1 & 0 & \dots \\ 0 & 0 & +1 & -1 & \dots \\ 0 & 0 & 0 & +1 & \dots \\ & & \vdots & & \end{bmatrix} \\ C = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \end{bmatrix} \end{cases}$$

Ahora considere $X_1 = (AB)C$ y $X_2 = A(BC)$ . Una evaluación directa da $X_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}$ pero $X_2 = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}$ .

La razón es que una matriz de tamaño infinito no tiene un "último" elemento, lo que puede hacer que no sean exactamente iguales al límite de una matriz finita.

Considere si define

$$\begin{cases} A_n \text{ is } 1 \text{ by } n \text{ Matrix} & A_n = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1\end{bmatrix} \\ B_n \text{ is } n \text{ by } n \text{ Matrix} & B = \begin{bmatrix} +1 & -1 & 0 & 0 & \dots \\ 0 & +1 & -1 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & 0 & +1 & -1 & \dots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & +1 & \dots & 0 & 0\\ & & \vdots & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & +1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & +1\\ \end{bmatrix} \\ C_n \text{ is } n \text{ by } 1 \text{ Matrix} & C = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} \end{cases}$$

Entonces defina $$X_3 = \lim_{n \to \infty} A_n(B_nC_n)$$

Lo verás aquí $X_3 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \ne X_2$ . Me resulta curioso, ya que eso significa que la multiplicación matricial infinita convencional no es un límite directo. Es podría definirse así, pero tal vez lo sea y tal vez no. Hay que tener cuidado.

Answer 2

Es posible que pueda salirse con la suya si el operador $A$ es un operador lineal acotado definido en todo un espacio de Hilbert separable. Sin embargo, si el operador es no acotado, la historia cambia radicalmente porque hay operadores simples no acotados con dominios diferentes que tienen el mismo diagonal representaciones matriciales con respecto a una base, pero que son muy diferentes en naturaleza y espectro.

El ejemplo más sencillo es el operador de diferenciación $Af = \frac{1}{i}\frac{df}{dt}$ definió su mayor dominio natural consistente en todos los $f \in L^{2}[0,2\pi]$ que son iguales a.e. a funciones absolutamente continuas con derivadas en $L^{2}[0,2\pi]$ . Se trata de un operador lineal cerrado densamente definido $$A : \mathcal{D}(A_{0})\subset L^{2}[0,2\pi]\rightarrow L^{2}[0,2\pi].$$ El adjunto $A_{0}=A^{\star}$ de este operador es la restricción de $A$ a las funciones que desaparecen en los puntos extremos de $[0,2\pi]$ . La restricción periódica $A_{p}$ de $A$ a las funciones $f \in \mathcal{D}(A)$ con $f(0)=f(2\pi)$ es autoadjunto. En términos de inclusión en el gráfico, $$A_{0} \prec A_{p}=A_{p}^{\star} \prec A.$$

Por lo tanto, estos operadores son muy diferentes debido a pequeñas diferencias en sus dominios. Sin embargo, todos son iguales cuando se consideran en la base ortonormal de $L^{2}[0,2\pi]$ obtenida mediante la normalización de las funciones ortogonales $\{ \sin(nx/2)\}_{n=1}^{\infty}$ . Eso es porque $\sin(nx/2)$ es el dominio de los tres operadores, y los operadores coinciden en el dominio común. Pero estos operadores tienen un carácter críticamente diferente, y obviamente esas diferencias no pueden recuperarse conociendo sólo las entradas de la matriz.

Esta ambigüedad se amplía en gran medida cuando se examinan los operadores diferenciales parciales.