El cilindro no incrustar en $\Bbb C^n$

Question

El cilindro $\Bbb R\times S^1$ puede ser visto como un complejo colector con una métrica plana por ver que tiene el cociente $\Bbb R\times\Bbb R/\Bbb Z$ donde $\Bbb R\times\Bbb R=\Bbb C$. (De hecho, hace que el cilindro en un Kähler colector.)

Problema: Demostrar que no existe ninguna isométrica holomorphic la incrustación de $$\varphi:\Bbb R\times S^1\hookrightarrow \Bbb C^n,$$ para cualquier $n$ donde $\Bbb C^n$ tiene el estándar de Kähler estructura.

Motivación: yo estaba tratando de responder a otra de mis preguntas aquí, y después de investigar un poco he encontrado este mathoverflow post de Pedro Kronheimer alegando que el anterior. Él da la siguiente razón.

Sugerencia: Aplicar el máximo módulo de principio a la derivada de la $\varphi$.

He intentado este método sin ningún éxito. ¿Alguien sabe cómo funciona?

Answer 1

¿Qué tal esto? Si $\phi$ es un isométrico foliaciones incrustar $\Bbb C/\Bbb Z\hookrightarrow\Bbb C^n$, levanta a un $\Bbb Z$-invariante foliaciones mapa $\tilde\phi\colon\Bbb C\to\Bbb C^n$ tirando hacia atrás la forma de Kähler estándar en $\Bbb C^n$ a la forma de Kähler estándar en $\Bbb C$, es decir, % $de la$$\tilde\phi^*\left(\sum{j=1}^n dz^j\wedge d\bar z^j\right) = dz\wedge d\bar z.$esto significa que el$\sum\limits{j=1}^n \big|(\tilde\phi{}^j)'(z)\big|^2 = 1$% todos$z$. Aplicando el teorema de Liouville para$(\tilde\phi{}^j)'$, deducimos que todas las$(\tilde\phi{}^j)'$debe ser constante. Pero cada$\tilde\phi{}^j\Bbb Z$-invariante, por lo que la única constante que puede trabajar es$0$. Uy.