¿Tiene el concepto de "cograph de una función" generalizaciones naturales / extensiones?

Question

En primer lugar, las definiciones de:

• La gráfica de una función $f : A \to B$ es un subconjunto de a $A \times B$, es decir, el conjunto de $\{(x,y) : x \in A, y \in B, f(x) = y\}$.
• El cograph de una función de $f : A \to B$ es el cociente de $A \sqcup B$ por la relación de equivalencia que identifica a $x$ $f(x)$ todos los $x$ (y por tanto, básicamente identifica a cada elemento del codominio con toda su preimagen en $f$).

Estos son categóricos duales, en el sentido de que la gráfica es el retroceso de $f$ a lo largo de la identidad, y la cograph es el pushout de $f$ a lo largo de la identidad.

A partir de la gráfica o cograph de una función, la función original puede ser recuperado. Incluso podemos especificar con precisión la condición de un subconjunto de a $A \times B$ a un gráfico de una función, o en un cociente de $A \sqcup B$ a ser un cograph.

Si nos relajamos esa condición en los gráficos, tenemos algo más interesante, con una rica teoría detrás de ella: las relaciones generales entre el$A$$B$, incluyendo funciones parciales o multi-funciones con valores y muchas otras cosas además, con varias propiedades, de la que es "funcional" es uno solo.

Si se relaja la condición de cographs, yo no puede fácilmente ver lo que sale de él. General de cocientes de a $A \sqcup B$ puede representar algunas de las relaciones entre el$A$$B$, pero, por ejemplo, no se puede hacer con varios valores de las funciones en todos los casos, y el tratamiento de las funciones parciales es menos natural (por ejemplo, suponga que un parcial $f$ no se define en cualquiera de las $x$ o $y$, debemos identificar a $x$ $y$ en el cociente?).

Así, yo puedo ver que el cograph tiene como muchos "lugares para ir" como el gráfico lo hace, no parece que se exponen como muchas de las caracterizaciones, las variaciones o generalizaciones del concepto de función. Hay cierta perspectiva, me estoy perdiendo aquí, o es el cograph simplemente no es tan importante matemáticamente como la gráfica es?

Answer 1

Usted puede obtener arbitraria de las relaciones mediante la generalización de la noción de la gráfica de una función, pero usted tiene que hacer algo diferente.

Supongamos que, en lugar de la generalización de la noción de "gráfica de una función de $A \to B$" a "subconjunto de $A \times B$", generalizamos a: triple $(A', B', \Gamma)$ donde $\Gamma \subseteq A' \times B'$ y la proyección de los mapas de $\Gamma \to A'$ $\Gamma \to B'$ son surjective.

El 'correspondiente cograph' sería el cociente de $A' \sqcup B'$ menos de equivalencia en relación con la identificación de $a \in \iota_1(A')$ $b \in \iota_2(B')$ si $\langle a,b \rangle \in \Gamma$ donde $\iota_1$ $\iota_2$ son la inclusión de mapas.

De esta manera se obtiene una equivalencia entre:

1. Las relaciones de$A$$B$;
2. Triples $(A',B',\Gamma)$ donde $A' \subseteq A$ $B' \subseteq B$ $\Gamma \subseteq A' \times B'$ con surjective los mapas de proyección;
3. Triples $(A',B',E)$ donde $A' \subseteq A$ $B' \subseteq B$ $E$ es una relación de equivalencia en $A' \sqcup B'$.

En efecto:

• ($1 \to 2$) enviar$R$$(\mathrm{dom}(R), \mathrm{im}(R), \mathrm{graph}(R))$.
• ($2 \to 1$) dado $(A',B',\Gamma)$, declaran $a\; R\; b$ si y sólo si $\langle a,b \rangle \in \Gamma$.
• ($1 \to 3$) enviar $R$ $(\mathrm{dom}(R), \mathrm{im}(R), E_R)$donde $E_R$ es el mínimo de relación de equivalencia que contiene a $\langle \iota_1(a), \iota_2(b) \rangle$ todos los $a,b$ $a\; R\; b$ donde $\iota_1,\iota_2$ son la inclusión de mapas.
• ($3 \to 1$) dado $(A',B',E)$, declaran $a\; R\; b$ si y sólo si $\iota_1(a)$ $\iota_2(b)$ se encuentran en el mismo $E$-clase de equivalencia.

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Aquí están las generalizaciones de las nociones que usted menciona en su pregunta:

1. Funciones

• Funciones de $f : A \to B$;
• Subconjuntos $\Gamma \subseteq A \times B'$ tal que $B' \subseteq B$, el mapa de proyección $\Gamma \to B'$ es surjective y, para todos los $a \in A$, no existe un único $b \in B'$ tal que $\langle a,b \rangle \in \Gamma$.
• Las relaciones de equivalencia en $A \sqcup B'$, de tal manera que $B' \subseteq B$ e cada clase de equivalencia que contiene exactamente un elemento de $B'$ y al menos un elemento de a $A$.

2. Funciones parciales

• Funciones parciales $f : A \to B$;
• Subconjuntos $\Gamma \subseteq A' \times B'$ tal que $A' \subseteq A$, $B' \subseteq B$, la proyección de los mapas de $A' \leftarrow \Gamma \to B'$ son surjective y, para todos los $a \in A'$, no existe un único $b \in B'$ tal que $\langle a,b \rangle \in \Gamma$.
• Las relaciones de equivalencia en $A' \sqcup B'$, de tal manera que $A' \subseteq A$, $B' \subseteq B$, y cada clase de equivalencia que contiene exactamente un elemento de $B'$ y al menos un elemento de a $A'$.

3. Multi-funciones con valores de

• Multi-funciones con valores de$A$$B$;
• Subconjuntos $\Gamma \subseteq A' \times B'$ tal que $A' \subseteq A$, $B' \subseteq B$, la proyección de los mapas de $A' \leftarrow \Gamma \to B'$ son surjective y, para todos los $a \in A'$, existe al menos un $b \in B'$$\langle a,b \rangle \in \Gamma$.
• Las relaciones de equivalencia en $A' \sqcup B'$ tal que $A' \subseteq A$, $B' \subseteq B$, y cada clase de equivalencia que contiene al menos un elemento de a $A'$ y un elemento de $B'$.