Notación física justificada

Question

A veces en física se hacen cosas como ésta:

Si $dq=f\left(x\right)\cdot dr$ entonces $\frac{dq}{dt}=f\left(x\right)\cdot \frac{dr}{dt}$ Lo que matemáticamente es una deducción errónea. ¿Hay alguna manera de justificar los pasos necesarios para que sea una deducción rigurosa? -por ejemplo usando el teorema de la función inversa o así-.

Muchas gracias amigos, Karan

Answer 1

Si la primera expresión se interpreta como una afirmación sobre diferenciales, no veo nada malo en lo que está escrito. El diferencial $dq$ es igual a $\frac{dq}{dt}dt$ mientras que $dr$ es igual a $\frac{dr}{dt}dt$ . Haciendo estas sustituciones se obtiene $$\frac{dq}{dt}dt = f(x)\frac{dr}{dt}dt$$ y comparando los coeficientes se obtiene $\frac{dq}{dt} = f(x)\frac{dr}{dt}$ como se afirma.

Answer 2

Yo diría que la primera es un abuso de la notación, mientras que la segunda está bien definida si las variables tienen las propiedades adecuadas. Puedes hacerlo riguroso expandiendo todo en series de Taylor. La primera se vería como una afirmación sobre los términos de primer orden en la serie de Taylor y una afirmación de que los términos de segundo orden se vuelven despreciables en el límite $\Delta t \to 0$ . El segundo aprovecha todo eso. Tus funciones tienen que ser "bonitas" para que todo esto funcione, diferenciables por supuesto, pero probablemente uniformemente continuas o Lipschitz. Las funciones físicas tienden a serlo porque si las derivadas se hacen demasiado grandes eso representa energía o fuerza infinita o algo así.

Answer 3

Un ejemplo $f$ sea una función suave en $x,y,z,t$ entonces $$ df = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial x} dx+\frac{\partial f}{\partial y} dy +\frac{\partial f}{\partial z} dz$$

Ahora bien $x, y ,z$ son funciones implícitas en $t$ , tienes $$ dx = \frac{\partial x}{\partial t} dt \,; dy = \frac{\partial y}{\partial t} dt ; dz = \frac{\partial z}{\partial t} dt$$

Lo que te da $$ df = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t} \right)dt$$

Entonces $\frac{df}{dt}$ es sólo un notación decir $\frac{\partial f}{\partial t} + \langle\vec \nabla f | \vec v\rangle$ .

De ahí que lo que se hace en Física sea perfectamente riguroso si se entienden sus notaciones implícitas.