Encontrar un primer $p$ que factores de factores de $f(x)=x^6 - x^3 +1$ en a linear en $\mathbb{F}_p[x]$

Question

Encontrar un primer $p$ tal que $f(x)=x^6 - x^3 +1$ factores en factores lineales en $\mathbb{F}_p[x]$

$\textbf{My attempt:}$

Observe que $f(x)$ $18$- th cyclotomic polinomio, $\Phi_{18}(x)$. Para un primo, $p$, que no divide $18$, las raíces de $\Phi_{18}(x)$ son exactamente los elementos $\alpha \in \mathbb{F}_p$ tal que $\alpha^{18} = 1$$( \mathbb{F}_p )^x$.

Si dejo $p=19$,$(\mathbb{F}_{19})^x \cong \mathbb{Z}_{18}$, lo que tendrá un elemento de orden $18$. Y por lo $\Phi_{18}$ tienen por lo menos un factor linear en $\mathbb{F}_{19}$.

Sin embargo, me han mostrado $\Phi_{18}$ tiene al menos un factor linear, pero necesito mostrar que $\Phi_{18}$ factores en los lineales de los factores. ¿Cómo puedo ir desde aquí?

Answer 1

Si $18$ divide el orden de $\mathbb{F}_{q}^*$, hay un eigtheenth raíz primitiva de la unidad $\xi$$\mathbb{F}_{q}^*$, por lo que cualquier eigtheenth raíz primitiva de la unidad pertenece a $\mathbb{F}_{q}^*$, ya que son sólo $$ \xi,\quad \xi^5,\quad \xi^7,\quad \xi^{11},\quad \xi^{13},\quad \xi^{17}.$$ Esto le da, por ejemplo, que el $\Phi_{18}(x)$ se divide completamente en $\mathbb{F}_p$$p\equiv 1\pmod{18}$: $$ \Phi_{18}(x) \equiv (x - 3) (x - 2) (x + 4) (x + 5) (x + 6) (x + 9)\pmod{19},$$ $$ \Phi_{18}(x) \equiv (x - 4) (x - 3) (x + 7) (x + 9) (x + 12) (x + 16)\pmod{37},$$ $$ \Phi_{18}(x) \equiv (x - 36) (x - 18) (x + 2) (x + 4) (x + 16) (x + 32)\pmod{73},$$ $$ \Phi_{18}(x) \equiv (x - 43) (x - 34) (x - 4) (x + 16) (x + 27) (x + 38)\pmod{109},$$ $$\ldots $$ Por otro lado, del teorema de Cauchy para grupos da ese $\color{red}{p\equiv 1\pmod{18}}$ es también una condición necesaria, ya que asumiendo $p\not\equiv 1\pmod{18}$ tenemos que no hay elementos de orden $18$$\mathbb{F}_p^*$, que es un grupo cíclico.

Answer 2

Si desea que la fuerza bruta manera, usted sólo tiene que encontrar $6$ de los miembros de $\Bbb Z_{19}$ que $f(x)=0$. Simplemente revise todos los $19$ valores y obtenemos

$$x\in\{2,3,10,13,14,15\}$$

La teoría de polinomios sobre un campo muestran que su polinomio factores en

$$f(x)=(x-2)(x-3)(x-10)(x-13)(x-14)(x-15)$$

Siempre se puede multiplicar esto para estar seguro. (He utilizado WolframAlpha para expandir esa expresión en los enteros, y la comprobación de que el módulo de cada coeficiente modulo $19$ veo que funciona.)

Answer 3

Es exactamente los elementos que tienen orden de $\Phi_{18}$ $18$ (no sólo los dichos que $\alpha^{18} = 1$).

El primer % primer #% es el #% que $p$ tiene elementos de orden $\mathbb{F}_p^x$ $18$. En este caso, cada uno de estos elementos va a generar $p=19$.

Por lo tanto, busca la raíces primitivas mod $\mathbb{F}_p^x$. Se trata de $19$.