Curvas modulares sobre campos finitos

Question

Estoy buscando una referencia detallada para curvas modulares sobre campos finitos, tales como $X(N)$ , $X_1(N)$ y $X_0(N)$ . Parece que hay mucha literatura que trata sobre ellos. $\mathbb{C}$ pero me interesan específicamente desde la perspectiva de la geometría algebraica. También, ¿existen tablas de sus recuentos de puntos sobre $\mathbb{F}_q$ para algunas pequeñas (pero esperemos que al menos hasta $N=15$ más o menos) valores de $N$ ¿o algoritmos (por ejemplo, en Sage) para calcular dicha información? Para el género 0, la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos da una fórmula exacta, por supuesto.

Answer 1

En la teoría clásica, se ve que los puntos de la teoría de conjuntos de las variedades complejas $Y(N)$ , $Y_1(N)$ etc., están en biyección con ciertos tori complejos más algunos datos adicionales (estructura de niveles) (hasta isomorfismo). Pero en realidad son espacios de moduli en el sentido más preciso (que implica el lema de Yoneda) para curvas elípticas analíticas complejas sobre espacios analíticos complejos más generales (piense en ellos como familias de curvas elípticas analíticas complejas, o simplemente tori complejos). Esto implica sus functores de puntos, en lugar de sólo sus functores teóricos de conjuntos, y es una pista de la existencia de espacios de moduli más generales. $Y(N)$ etc., que viven sobre (localizaciones de) el anillo de los enteros y, al cambiar de base a $\mathbf{C}$ y tomando $\mathbf{C}$ -puntos racionales (el $\mathbf{C}$ -), dan lugar a las conocidas variedades complejas.

Tratamientos muy minuciosos de estos modelos integrales de curvas modulares (que pueden reducirse módulo a varios primos $p$ para obtener curvas modulares sobre campos finitos, que no siempre son no singulares) pueden encontrarse en Deligne-Rapoport (documento gigante) o Katz-Mazur (libro gigante). Ambos consideran también las "compactificaciones" $X(N)$ , $X_1(N)$ etc., pero sus puntos de vista son algo diferentes. Además, aunque no he leído a fondo ninguno de los dos (más de KM), ambos son desafiantes, y requieren un conocimiento bastante bueno de la geometría algebraica desde el punto de vista moderno (aunque KM esencialmente evita el uso explícito de pilas algebraicas, usando mucha teoría de descenso, no consiguen la interpretación de moduli del conjunto de cúspides en términos de "curvas elípticas generalizadas" que hace DR). Yo diría que KM es algo más fácil (relativamente hablando) y, si eres un angloparlante nativo, tiene la pequeña ventaja de estar en inglés.

Básicamente, existen versiones integrales de curvas modulares (compactadas) (bajo supuestos de $N$ , dependiendo del problema de módulos que se considere) cuyo functor de puntos está relacionado con curvas elípticas (generalizadas) sobre bases muy generales (se invierte el nivel para obtener esquemas regulares cuando los problemas de módulos son representables, pero su mala reducción, es decir, primos que dividen el nivel, es también de gran interés, y está bien estudiada). Estos objetos pueden ser reducidos modulo varios primos, y la naturaleza algebro-geométrica de las curvas resultantes depende de si o no $p$ divide el nivel. Supongo que este material se considera "clásico" en este punto. La compatibilidad con la teoría analítica no es del todo trivial, ya que, de nuevo, hay que formular adecuadamente el problema de módulo correcto para curvas elípticas sobre espacios analíticos complejos (en cuyo punto la compatibilidad es consecuencia de la functorialidad de la analiticidad y del lema de Yoneda).

No estoy seguro del recuento de puntos en campos finitos. Ciertamente hay descripciones de las curvas sobre campos finitos que se obtienen reduciendo modulo "primos malos" en DR y KM (que implican "puntos supersingulares"). No estoy seguro de cuánto más detallado puedo \should ser. Definitivamente hay personas activas en este sitio (o si no aquí, entonces en MO) que son expertos absolutos en este tema, y probablemente podrían dar información mucho más esclarecedora.

EDIT: Debo señalar que probablemente existen enfoques menos exigentes técnicamente para la reducción de curvas modulares, al menos en casos especiales, pero no los he aprendido. Al menos las dos referencias que cito son (entre) las fuentes definitivas para el enfoque algebraico-geométrico completamente "moderno".

Answer 2

La respuesta corta viene dada por la fórmula de la traza de Grothendieck-Lefschetz $$ \#X(\mathbf F_p) = \sum (-1)^i \mathrm{Tr}(\mathrm{Frob}_p \mid H^i_c(X;\mathbf Q_\ell)).$$ Para $X$ una curva modular compacta asociada a un subgrupo de congruencia $\Gamma$ esto significa que necesitas entender la representación de Galois $H^1(X,\mathbf Q_\ell)$ como la traza en $H^0$ et $H^2$ sólo te da $p+1$ . Para $p$ no dividir el nivel, la traza en $H^1$ viene dado por el teorema de Eichler-Shimura. Específicamente, $H^1(X)$ es (posiblemente después de extender los escalares) la suma directa de los $2$ -representaciones de Galois adosadas a eigenformas de Hecke de peso 2 y nivel $\Gamma$ y la traza de $\mathrm{Frob}_p$ en $H^1(X)$ es igual a la traza del operador de Hecke $T_p$ actuando sobre este espacio de formas de cúspide. Esto es lo mismo que la suma de las $p$ coeficiente de Fourier de todas las formas propias de Hecke normalizadas. Por lo tanto, se puede calcular el número de $\mathbf F_p$ -en SAGE: esto equivale a encontrar una lista de todas las formas propias de Hecke de peso 2 para este nivel, y decirle a SAGE que escupa sus coeficientes de Fourier.