Múltiples raíces de polinomios sobre un campo finito

Question

1. Mostrar que $x^4+x+1$ $\mathbb{Z}_2$ no tiene ningún múltiples ceros en cualquier campo de extensión de $\mathbb{Z}_2$.
2. Mostrar que $x^{21} + 2x^8 +1$ no tiene varios ceros en cualquier extensión de $\mathbb{Z}_3$.
3. Mostrar que $x^{21} + 2x^9 +1$ tiene varios ceros en algunos extensión de $\mathbb{Z}_3$.

Estos son los tres problemas similares en el campo de las extensiones. ¿Alguien puede ayudarme por favor - ¿cómo puedo solucionar este tipo de problema? Estoy aprendiendo acerca de extensiones de campo en el mío propio, por lo que mis ideas no están muy claras. Por favor, ayudar.

Answer 1

Sugerencia: Dado un campo $K$ y algunos $f\in K[x]$, entonces $f$de % de % tienen múltiples raíces (cuando $\overline{K}$, una clausura algebraica de $K$) si y sólo si $\gcd(f,f')\neq 1$, donde $f'$ es el formal derivado de $f$.

Esto se menciona en la Página de Wikipedia sobre "polinomio separable".